Ejercicios con raíces cuadradas

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Ejercicios para raíces cuadradas
1. Un cuadrado y un círculo tienen la misma área.
  El radio del círculo es de 13,6 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
  
  El lado del cuadrado
  Ya sabes:
  $A_{círculo}=A_{cuadrado}=581{,}07 cm^2$
  Ten a la mano la fórmula para calcular el área del cuadrado.
  $\displaystyle A_{cuadrado}=l^2$
  $A_{cuadrado}=l^2$
  aplica la raíz cuadrada utilizando el radical.
  $\sqrt{A_{cuadrado}}=\pm l$
  Al resolver la raíz cuadrada obtienes dos soluciones.
  $\sqrt{581.07 cm^2}=\pm l$
  Las dos soluciones que obtienes son:
  $l_{solución 1}=-24{,}11cm$
  $l_{solución 2}=24{,}11cm$
  Atención: En el contexto del cuadrado, sólo una de las soluciones parece tener sentido.
  Como la longitud del lado del cuadrado no puede ser negativa, la solución correcta es: $l = 24.11 c m$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  Primero tienes que calcular el área del círculo, para saber qué tan grande tiene que ser el área del cuadrado.
  Se da el radio $r = 13,6 c m$
  Calcula el área usando la fórmula.
  $\displaystyle A_{círculo}=\pi r^2$
  $A_{círculo}=\pi r^2$
  Esta es el área que tambien tiene el cuadrado
  $A_{círculo}=\pi \cdot (13{,}6)^2$
  $A_{círculo} \approx 581{,}07cm^2$
2. ¿Qué raíz o raíces cumplen con la definición?
  $\sqrt{25}$
  $\sqrt{7-3}$
  $\sqrt{-25}$
  $\sqrt{5-7}$
3. ¿Qué raíz o raíces cumplen con la definición?
  $5^\dfrac{1}{2}$
  $\sqrt{2}$
  $\sqrt{-3}$
  $(-5)^\dfrac{1}{2}$
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Ejercicios de cálculo con raíces cuadradas
1. Simplifica y calcula:
  $7\sqrt{9}+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}$
  
  La solución es: $46+2\sqrt{3}$
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  $7\sqrt{9}+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}$ =
  Toma la raiz $\sqrt{9}$ y calcula.
  $=7\cdot3+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  $=$ $21+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  Calcula los números al cuadrado y simplifica.
  $=21+5\sqrt{9+16}+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  $=21+5\sqrt{25}+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  Toma la raiz $\sqrt{25}$ y calcula.
  $=21+5\cdot5+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  $=21+25+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  $=46+5\sqrt{3}−3\sqrt{3}=$
  Simplifica las raíces usando la ley de la raíz cuadrada de la substracción.
  $=46+(5−3)3\sqrt{3}= 46+2\sqrt{3}$
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Resuelve las siguientes igualdades
1. $x^{2} = 16$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raiz Cuadrada
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  $x^{2} = 16$
  Utiliza el radical
  $\sqrt{x^2}=\sqrt{16}$
  $\vert x \vert=4$
  Las soluciones son:
  $x_\text{Solucion 1}=4\\x_\text{Solucion 2}=-4$
2. $x^{2} = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raiz Cuadrada
  ¿Tienes una pregunta?
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  $x^{2} = 0$
  Utiliza el radica
  $\sqrt{x^2}=\sqrt{0}$
  $∣ x ∣ = 0$
  La solución es $x = 0$
3. $x^{2}+2=11$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raiz Cuadrada
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $x^{2}+2=11$
  Cambia el $2$ de lado en la igualdad
  $x^{2}=11-2\\x^{2}=9\\$
  Utiliza el radical
  $\sqrt{x^2}=\sqrt{9}\\\vert x \vert=3$
  Las soluciones son:
  $x_\text{Solucion 1}=3\\x_\text{Solucion 2}=-3$
4. $4 + x^{2} = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raiz cuadrada
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $4 + x^{2} = 2$
  Cambia el $4$ de lado en la igualdad
  $x^2=2-4\\x^2=-2$
  Utiliza el radical
  $\sqrt{x^2}=\sqrt{-2}$
  Aquí no hay solución. No se puede sacar una raíz de un número negativo.
4
Simplifica si es posible:
1. $5\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley para la adición de raíces
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $5\sqrt{3}+2\sqrt{3}=$
  Utiliza la ley para la adición de raíces
  $(5+2)\sqrt{3}=$
  Resuelve la suma
  $=7\sqrt{3}$
2. $6\sqrt{4}-2\sqrt{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley para la sustraer raíces
  Solución alternativa:
  
  También se puede calcular la solución sin las leyes raíz:
  $6\sqrt{4}-2\sqrt{4}=$
  resuelve las raíces
  $6\cdot2-2\cdot2=$
  calcula
  $12 - 4 = 8$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $6\sqrt{4}-2\sqrt{4}=$
  Utiliza la ley para restar raíces
  $(6-2)\sqrt{4}=$
  resuelve la resta
  $4\sqrt{4}=$
  resuelve la raíz
  $4\cdot2=8$
3. $3\sqrt{4}+3\sqrt{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley para la adición de raíces
  Podrías utilizar parentesis para el $3$ .
  $3(\sqrt{4}+\sqrt{3})$
  Sin embargo, solo llegas hasta aquí y esto no es muy útil.
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $3\sqrt{4}+3\sqrt{3}$
  Aquí no se puede utilizar la ley para la adición de raíces porque los radicandos no son iguales. Así que no se pueden sumar las raíces.
4. $\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley para la multiplicación de raíces
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}=$
  Utiliza la ley para la multiplicación de raíces
  $\sqrt{3\cdot7}=$
  resuleve la multiplicación
  $=\sqrt{21}$
5. $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley para la multiplicación de raíces
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=$
  Utiliza la ley para la multiplicación de raíces
  $\sqrt{2\cdot8}=$
  resuleve la multiplicación
  $\sqrt{16}=$
  resuelve la raíz
  $\sqrt{16}=4$
6. $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley para la división de raíces
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=$
  Utiliza la ley para la división de raíces
  $\sqrt\frac{27}{3}=\sqrt{9}=3$
7. $\sqrt{(-27)^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley de la raíz como pontencia
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{(-27)^2}=$
  Utiliza la Ley de la raíz como pontencia
  $=\vert-27\vert=27$
8. $(\sqrt{2\cdot9})^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley de la raíz como pontencia
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $(\sqrt{2\cdot9})^2=$
  Utiliza la Ley de la raíz como pontencia
  $(\sqrt{2\cdot9})^2=(\sqrt{18})^2=18$
9. $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ley para la multiplicación de raíces
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=$
  Utiliza la ley para la multiplicación de raíces
  $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7$
10. $25^\dfrac{1}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ley de la raíz como pontencia
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $25^\dfrac{1}{2}=$
  Utiliza la Ley de la raíz como pontencia
  $=\sqrt{25}=5$
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Ejercicios para hacer racionales los denominadores
Haz que el denominador sea racional. Simplificar al máximo:
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hacer que el denominador sea racional
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\frac{1}{\sqrt{2}}=$
  Amplia la fraccion
  $=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$
  $=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}$
  Resolver la raíz y la potencia
  $=\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $\dfrac{5}{2\sqrt{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hacer que el denominador sea racional
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\dfrac{5}{2\sqrt{3}}=$
  Amplia la fraccion con $\sqrt{3}$
  $=\dfrac{5\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2\cdot3}=\dfrac{5}{2\cdot3}\sqrt{3}$
  simpifica
  $=\dfrac{5}{6}\sqrt{3}$
3. $\dfrac{25}{\sqrt{125}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hacer que el denominador sea racional
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\dfrac{25}{\sqrt{125}}=$
  Resuleve parcialmente la raíz
  $=\dfrac{25}{\sqrt{25\cdot5}}$
  $=\dfrac{25}{5\sqrt{5}}$
  Amplia la fraccion con $\sqrt{5}$
  $=\dfrac{25\cdot\sqrt{5}}{5\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{25\cdot\sqrt{5}}{5\cdot5}=\dfrac{25\cdot\sqrt{5}}{25}=$
  Simplifica
  $=\sqrt{5}$
4. $\dfrac{\sqrt{y}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hacer que el denominador sea racional
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\dfrac{\sqrt{y}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=$
  Ampliar con el denominador
  $=\dfrac{(\sqrt{y}-\sqrt{y})\cdot\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}\cdot\sqrt{xy}}=$
  $=\dfrac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{xy}-\sqrt{y}\cdot\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}^2}=$
  Resolver la raíz y la potencia
  $=\dfrac{\sqrt{x}^2\cdot\sqrt{y}-\sqrt{y}^2\cdot\sqrt{x}}{xy}=\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{xy}=$
  Separa la fracción
  $=\dfrac{x\sqrt{y}}{xy}-\dfrac{y\sqrt{x}}{xy}=$
  simplifica
  $=\dfrac{\sqrt{y}}{y}-\dfrac{\sqrt{x}}{x}=$
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Tareas para términos con raíces cuadradas
1. Justifica que para el positivo $a$ se cumpla:
  $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenciación
  Intenta que el denominador sea racional para esto.
  $\frac{1}{\sqrt{a}}$
  amplia la fracción con $\sqrt{a}$
  $=\frac{1\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}$
  Utiliza las leyes de cálculo del producto de raíces.
  $=\frac{1\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a\cdot a}}$
  El cuadrado y la raíz se anulan mutuamente.
  $=\frac{\sqrt{a}}{a}$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  Quieres demostrar que $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
7
Saca la raíz lo más que puedas:
1. $\sqrt{20}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extracción parcial de la raíz
  Haz la descomposición en factores primos:
  $\displaystyle \sqrt{2\cdot2\cdot5}=$
  Búsca los exponentes pares en la descomposición:
  $\displaystyle \sqrt{2^2\cdot5}=$
  Descompone la raíz:
  $\displaystyle \sqrt{2^2}\cdot\sqrt{5}=$
  Saca la raíz:
  $\displaystyle 2\cdot\sqrt{5}= 2\sqrt{5}$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{20}=$
2. $\sqrt{27}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extracción parcial de la raíz
  Haz la descomposición en factores primos:
  $\displaystyle \sqrt{3\cdot3\cdot3}=$
  Búsca los exponentes pares en la descomposición:
  $\displaystyle \sqrt{3^2\cdot3}=$
  Descompone la raíz:
  $\displaystyle \sqrt{3^2}\cdot\sqrt{3}=$
  Saca la raíz:
  $\displaystyle 3\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{27}=$
3. $\sqrt{45}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extracción parcial de la raíz
  Haz la descomposición en factores primos:
  $\displaystyle \sqrt{3\cdot3\cdot5}=$
  
  Búsca los exponentes pares en la descomposición:
  $\displaystyle \sqrt{3^2\cdot5}=$
  
  Descompone la raíz:
  $\displaystyle \sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=$
  
  Saca la raíz:
  $\displaystyle 3\cdot\sqrt{5}= 3\sqrt{5}=$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{45}=$
4. $\sqrt{98}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extracción parcial de la raíz
  Haz la descomposición en factores primos:
  $\displaystyle \sqrt{2\cdot7\cdot7}=$
  
  Búsca los exponentes pares en la descomposición:
  $\displaystyle \sqrt{2\cdot7^2}=$
  
  Descompone la raíz:
  $\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{7^2}=$
  
  Saca la raíz:
  $\displaystyle \sqrt{2}\cdot7=7\sqrt{2}$
  ¿Tienes una pregunta?
  Escríbelo aquí 👉
  $\sqrt{98}=$
5. $\sqrt{180}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extracción parcial de la raíz
  Haz la descomposición en factores primos:
  $\displaystyle \sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5}=$
  
  Búsca los exponentes pares en la descomposición:
  $\displaystyle \sqrt{2^2\cdot3^3\cdot5}=$
  
  Descompone la raíz:
  $\displaystyle \sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=$
  
  Saca la raíz:
  $\displaystyle 2\cdot3\cdot\sqrt{5}= 6\cdot\sqrt{5}$
  $\displaystyle =6\sqrt{5}$
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  $\sqrt{180}=$
6. $\dfrac{\sqrt{8}}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extracción parcial de la raíz
  Haz la descomposición en factores primos:
  $\displaystyle \dfrac{\sqrt{2\cdot2\cdot2}}{2}=$
  
  Búsca los exponentes pares en la descomposición:
  $\displaystyle \dfrac{\sqrt{2^2\cdot2}}{2}=$
  
  Descompone la raíz:
  $\displaystyle \dfrac{\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}}{2}=$
  
  Saca la raíz:
  $\displaystyle \dfrac{2\cdot\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
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  $\dfrac{\sqrt{8}}{2}=$

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Tareas para términos con raíces cuadradas

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