Ejercicios con raíces cuadradas

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Ejercicios para raíces cuadradas
Un cuadrado y un círculo tienen la misma área.
El radio del círculo es de 13,6 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

El lado del cuadrado
Ya sabes:
$A_{c \overset{ˊ}{ı} r c u l o} = A_{c u a d r a d o} = 581,07 c m^{2}$
Ten a la mano la fórmula para calcular el área del cuadrado.
$A_{c u a d r a d o} = l^{2}$
$A_{c u a d r a d o} = l^{2}$
aplica la raíz cuadrada utilizando el radical.
$\sqrt{A_{c u a d r a d o}} = \pm l$
Al resolver la raíz cuadrada obtienes dos soluciones.
$\sqrt{581.07 c m^{2}} = \pm l$
Las dos soluciones que obtienes son:
$l_{s o l u c i \overset{ˊ}{o} n 1} = - 24,11 c m$
$l_{s o l u c i \overset{ˊ}{o} n 2} = 24,11 c m$
Atención: En el contexto del cuadrado, sólo una de las soluciones parece tener sentido.
Como la longitud del lado del cuadrado no puede ser negativa, la solución correcta es: $l = 24.11 c m$
Primero tienes que calcular el área del círculo, para saber qué tan grande tiene que ser el área del cuadrado.
Se da el radio $r = 13,6 c m$
Calcula el área usando la fórmula.
$A_{c \overset{ˊ}{ı} r c u l o} = π r^{2}$
$A_{c \overset{ˊ}{ı} r c u l o} = π r^{2}$
Esta es el área que tambien tiene el cuadrado
$A_{c \overset{ˊ}{ı} r c u l o} = π \cdot (13,6)^{2}$
$A_{c \overset{ˊ}{ı} r c u l o} \approx 581,07 c m^{2}$

¿Qué raíz o raíces cumplen con la definición?
$\sqrt{25}$
$\sqrt{7 - 3}$
$\sqrt{- 25}$
$\sqrt{5 - 7}$

¿Qué raíz o raíces cumplen con la definición?
$5^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{- 3}$
$(- 5)^{\frac{1}{2}}$
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Ejercicios de cálculo con raíces cuadradas
Simplifica y calcula:
$7 \sqrt{9} + 5 \sqrt{3^{2} + 4^{2}} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}$

La solución es: $46 + 2 \sqrt{3}$
$7 \sqrt{9} + 5 \sqrt{3^{2} + 4^{2}} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}$ =
Toma la raiz $\sqrt{9}$ y calcula.
$= 7 \cdot 3 + 5 \sqrt{3^{2} + 4^{2}} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
$=$ $21 + 5 \sqrt{3^{2} + 4^{2}} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
Calcula los números al cuadrado y simplifica.
$= 21 + 5 \sqrt{9 + 16} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
$= 21 + 5 \sqrt{25} + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
Toma la raiz $\sqrt{25}$ y calcula.
$= 21 + 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
$= 21 + 25 + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
$= 46 + 5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} =$
Simplifica las raíces usando la ley de la raíz cuadrada de la substracción.
$= 46 + (5 - 3) 3 \sqrt{3} = 46 + 2 \sqrt{3}$
3
Resuelve las siguientes igualdades
$x^{2} = 16$

For this task you need the following basic knowledge: Raiz Cuadrada
$x^{2} = 16$
Utiliza el radical
$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{16}$
$| x | = 4$
Las soluciones son:
$\begin{array}{l} x_{Solucion 1} = 4 \\ x_{Solucion 2} = - 4 \end{array}$

$x^{2} = 0$

For this task you need the following basic knowledge: Raiz Cuadrada
$x^{2} = 0$
Utiliza el radica
$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{0}$
$| x | = 0$
La solución es $x = 0$

$x^{2} + 2 = 11$

For this task you need the following basic knowledge: Raiz Cuadrada
$ x^{2} + 2 = 11$
Cambia el $2$ de lado en la igualdad
$\begin{array}{l} x^{2} = 11 - 2 \\ x^{2} = 9 \end{array}$
Utiliza el radical
$\begin{array}{l} \sqrt{x^{2}} = \sqrt{9} \\ | x | = 3 \end{array}$
Las soluciones son:
$\begin{array}{l} x_{Solucion 1} = 3 \\ x_{Solucion 2} = - 3 \end{array}$

$4 + x^{2} = 2$

For this task you need the following basic knowledge: Raiz cuadrada
$4 + x^{2} = 2$
Cambia el $4$ de lado en la igualdad
$\begin{array}{l} x^{2} = 2 - 4 \\ x^{2} = - 2 \end{array}$
Utiliza el radical
$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{- 2}$
Aquí no hay solución. No se puede sacar una raíz de un número negativo.
4
Simplifica si es posible:
$5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley para la adición de raíces
$5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} =$
Utiliza la ley para la adición de raíces
$(5 + 2) \sqrt{3} =$
Resuelve la suma
$= 7 \sqrt{3}$

$6 \sqrt{4} - 2 \sqrt{4}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley para la sustraer raíces
Solución alternativa:

También se puede calcular la solución sin las leyes raíz:
$6 \sqrt{4} - 2 \sqrt{4} =$
resuelve las raíces
$6 \cdot 2 - 2 \cdot 2 =$
calcula
$12 - 4 = 8$
$6 \sqrt{4} - 2 \sqrt{4} =$
Utiliza la ley para restar raíces
$(6 - 2) \sqrt{4} =$
resuelve la resta
$4 \sqrt{4} =$
resuelve la raíz
$4 \cdot 2 = 8$

$3 \sqrt{4} + 3 \sqrt{3}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley para la adición de raíces
Podrías utilizar parentesis para el $3$ .
$3 (\sqrt{4} + \sqrt{3})$
Sin embargo, solo llegas hasta aquí y esto no es muy útil.
$3 \sqrt{4} + 3 \sqrt{3}$
Aquí no se puede utilizar la ley para la adición de raíces porque los radicandos no son iguales. Así que no se pueden sumar las raíces.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley para la multiplicación de raíces
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} =$
Utiliza la ley para la multiplicación de raíces
$\sqrt{3 \cdot 7} =$
resuleve la multiplicación
$= \sqrt{21}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley para la multiplicación de raíces
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} =$
Utiliza la ley para la multiplicación de raíces
$\sqrt{2 \cdot 8} =$
resuleve la multiplicación
$\sqrt{16} =$
resuelve la raíz
$\sqrt{16} = 4$

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley para la división de raíces
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} =$
Utiliza la ley para la división de raíces
$\sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{(- 27)^{2}}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley de la raíz como pontencia
$\sqrt{(- 27)^{2}} =$
Utiliza la Ley de la raíz como pontencia
$= | - 27 | = 27$

$(\sqrt{2 \cdot 9})^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley de la raíz como pontencia
$(\sqrt{2 \cdot 9})^{2} =$
Utiliza la Ley de la raíz como pontencia
$(\sqrt{2 \cdot 9})^{2} = (\sqrt{18})^{2} = 18$

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}$

For this task you need the following basic knowledge: ley para la multiplicación de raíces
$\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} =$
Utiliza la ley para la multiplicación de raíces
$\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$

$25^{\frac{1}{2}}$

For this task you need the following basic knowledge: Ley de la raíz como pontencia
$25^{\frac{1}{2}} =$
Utiliza la Ley de la raíz como pontencia
$= \sqrt{25} = 5$
5
Ejercicios para hacer racionales los denominadores
Haz que el denominador sea racional. Simplificar al máximo:
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

For this task you need the following basic knowledge: Hacer que el denominador sea racional
$\frac{1}{\sqrt{2}} =$
Amplia la fraccion
$= \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2}}$
Resolver la raíz y la potencia
$= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$

For this task you need the following basic knowledge: Hacer que el denominador sea racional
$\frac{5}{2 \sqrt{3}} =$
Amplia la fraccion con $\sqrt{3}$
$= \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2 \cdot 3} \sqrt{3}$
simpifica
$= \frac{5}{6} \sqrt{3}$

$\frac{25}{\sqrt{125}}$

For this task you need the following basic knowledge: Hacer que el denominador sea racional
$\frac{25}{\sqrt{125}} =$
Resuleve parcialmente la raíz
$= \frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
$= \frac{25}{5 \sqrt{5}}$
Amplia la fraccion con $\sqrt{5}$
$= \frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5} = \frac{25 \cdot \sqrt{5}}{25} =$
Simplifica
$= \sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{y} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$

For this task you need the following basic knowledge: Hacer que el denominador sea racional
$\frac{\sqrt{y} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}} =$
Ampliar con el denominador
$= \frac{(\sqrt{y} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}} =$
$= \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} =$
Resolver la raíz y la potencia
$= \frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y} = \frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y} =$
Separa la fracción
$= \frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y} =$
simplifica
$= \frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x} =$
6
Tareas para términos con raíces cuadradas
Justifica que para el positivo $a$ se cumpla:
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenciación
Intenta que el denominador sea racional para esto.
$\frac{1}{\sqrt{a}}$
amplia la fracción con $\sqrt{a}$
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}$
Utiliza las leyes de cálculo del producto de raíces.
$= \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a \cdot a}}$
El cuadrado y la raíz se anulan mutuamente.
$= \frac{\sqrt{a}}{a}$
Quieres demostrar que $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$
7
Saca la raíz lo más que puedas:
$\sqrt{20}$

For this task you need the following basic knowledge: Extracción parcial de la raíz
Haz la descomposición en factores primos:
$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5} =$
Búsca los exponentes pares en la descomposición:
$\sqrt{2^{2} \cdot 5} =$
Descompone la raíz:
$\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{5} =$
Saca la raíz:
$2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$
$\sqrt{20} =$

$\sqrt{27}$

For this task you need the following basic knowledge: Extracción parcial de la raíz
Haz la descomposición en factores primos:
$\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3} =$
Búsca los exponentes pares en la descomposición:
$\sqrt{3^{2} \cdot 3} =$
Descompone la raíz:
$\sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{3} =$
Saca la raíz:
$3 \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$
$\sqrt{27} =$

$\sqrt{45}$

For this task you need the following basic knowledge: Extracción parcial de la raíz
Haz la descomposición en factores primos:
$\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 5} =$

Búsca los exponentes pares en la descomposición:
$\sqrt{3^{2} \cdot 5} =$

Descompone la raíz:
$\sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{5} =$

Saca la raíz:
$3 \cdot \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} =$
$\sqrt{45} =$

$\sqrt{98}$

For this task you need the following basic knowledge: Extracción parcial de la raíz
Haz la descomposición en factores primos:
$\sqrt{2 \cdot 7 \cdot 7} =$

Búsca los exponentes pares en la descomposición:
$\sqrt{2 \cdot 7^{2}} =$

Descompone la raíz:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{7^{2}} =$

Saca la raíz:
$\sqrt{2} \cdot 7 = 7 \sqrt{2}$
$\sqrt{98} =$

$\sqrt{180}$

For this task you need the following basic knowledge: Extracción parcial de la raíz
Haz la descomposición en factores primos:
$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} =$

Búsca los exponentes pares en la descomposición:
$\sqrt{2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5} =$

Descompone la raíz:
$\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{5} =$

Saca la raíz:
$2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{5}$
$= 6 \sqrt{5}$
$\sqrt{180} =$

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Extracción parcial de la raíz
Haz la descomposición en factores primos:
$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{2} =$

Búsca los exponentes pares en la descomposición:
$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2} =$

Descompone la raíz:
$\frac{\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2}}{2} =$

Saca la raíz:
$\frac{2 \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$\frac{\sqrt{8}}{2} =$

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Tareas para términos con raíces cuadradas