El común denominador

El común denominador de dos o más fracciones es el mínimo común múltiplo (MCM) de sus denominadores.

Para obtener el común denominador hay que ampliar o reducir las fracciones de tal manera que todas tengan el mismo denominador. Esto es necesario, por ejemplo, para comparar sus tamaños, sumarlas o restarlas.

Procedimiento

Primero, se debe determinar el mínimo común múltiplo (MCM) de los dos denominadores. Para ello se aplica el método de descomposición en factores primos.

Para calcular el denominador principal, todos los factores primos de los dos denominadores se multiplican con la misma frecuencia con que se repiten en las descomposiciones en factores primos. Este procedimiento se explica en detalle en el artículo sobre el Minimo común múltiplo (MCM).

Ampliamos las dos fracciones para que sus denominadores estén en el mínimo común múltiplo, reduciendo así las fracciones a un denominador común.

Ejemplo 1

Tenemos: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{5}$

Primero miras las fracciones una por una y compruebas si puedes reducirlas. No se pueden reducir $\dfrac{1}{6}$ ni $\dfrac{3}{5}$ .

Para determinar el mínimo común múltiplo (MCM), se miran los denominadores, en este caso el $6$ y el $5$ . Aquí estamos buscando los factores primos. Para ello utilizamos el método de descomposición en factores primos.

$6=3\cdot2$

$5$ ya sabemos que es un número primo.

Se determina el MCM a través de la descomposición en factores primos. Ese es nuestro común denominador.

En nuestro ejemplo esto es $3⋅2⋅5=\textcolor{ff6600}{30}$ .

En el siguiente paso se aplian las fracciones al denominador común $30$ y luego se pueden sumar.

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{5}= \dfrac{1\cdot5}{6\cdot5}+\dfrac{3\cdot6}{5\cdot6}= \dfrac{5+18}{\textcolor{ff6600}{30}}= \dfrac{23}{\textcolor{ff6600}{30}}$

Ejemplo 2

Calcula $\dfrac{1}{48} + \dfrac{1}{90}$

$\dfrac{1}{48} + \dfrac{1}{90}$		Identificamos los denominadores $48$ y $90$ . Para encontrar su común denominador, realizamos la descomposición en factores primos.
	$48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3$	El factor primo $2$ se da con mayor frecuencia en el número $48$ . 4 veces $\Rightarrow 2\cdot2\cdot2\cdot2$ .
	$90=2\cdot3\cdot3\cdot5$	El factor primo $3$ se da con mayor frecuencia en el número $90$ . 2 veces $\Rightarrow 3\cdot3$ .
		El factor primo $5$ se da solo una vez en el número $90$ . Una vez $\Rightarrow 5$ .
$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5=720$		El denominador común de $\dfrac{1}{48}$ y $\dfrac{1}{90}$ es entonces $720$ .
$\dfrac{1}{48} = \dfrac{15\cdot1}{15\cdot48}=\dfrac{15}{720}$		Ampliamos la fracción.
$\dfrac{1}{90} = \dfrac{8\cdot1}{8\cdot90}=\dfrac{8}{720}$		Ampliamos la fracción.
$\dfrac{15}{720}+\dfrac{8}{720}=\dfrac{23}{720}$		Ahora si podemos hacer la adición de la fracción.

Si tu igualdad contiene variables, utiliza este procedimiento para formar el denominador principal con variables.

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