Potenciación

La potenciación es una notación abreviada para multiplicar un número por sí mismo varias veces.

Ejemplo: se escribe $\underset{\text{3 factores}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}}$ como $2^3$

El exponente, en este ejemplo $3$, describe cuántas veces se multiplica un número por sí mismo.

En general, cualquier número sin exponente tiene un exponente de $1$.

Se aplica: $\text{x}={\text{x}}^1$

En este caso se suele omitir el exponente.

Ejemplo: $3^1=3$

Si se eleva cualquier número $\text{x}$ a la potencia de $0$, cuando $\text{x}\ne 0$, siempre se obtiene ${\text{x}}^0=1$.

Excepción: "${\mathrm{𝟢}}^{\mathrm{𝟢}}$ " no está definido.

Base y exponente

El número que se va a multiplicar por sí mismo se llama base y el número de veces es indicado por el exponente, el resultado de este cálculo es entonces la potencia.

Ejemplo: $2^3=8$

Potencias con base negativa

Si se realiza la potenciaci[on de un número negativo, el signo del resultado depende de si el exponente es un número par o impar. Si es par, el resultado es positivo; si es impar, la potencia sigue siendo negativa.

Ejemplos:

$(-2{)}^2=(-2)\cdot (-2)=+4$

$(-2{)}^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$

Potencias con exponente negativo

¿Cómo podemos interpretar ${\text{a}}^{-\text{k}}$?

${\text{a}}^{-\text{k}}=\frac{4}{{\text{a}}^{\text{k}}}$

Ejemplos:

$2^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$4^{-2}={\displaystyle \frac{1}{4^2}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

${\displaystyle \frac{3}{25}}=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{25}}=3\cdot 5^{-2}$

Exponentes racionales

Los números elevados a la potencia de un número racional (es decir, una fracción) pueden identificarse como una raíz:

${\text{x}}^{{\displaystyle \frac{\text{a}}{\text{b}}}}=\sqrt[\text{b}]{{\text{x}}^{\text{a}}}$

Por lo tanto, lo contrario es cierto para la raíz estándar:

$\sqrt[]{\text{x}}=\sqrt[2]{\text{x}}={\text{x}}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

Ejemplo 1:

$5^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{5^5}$

Ejemplo 2:

$7^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$

Calculando con exponentes

En el artículo Leyes de la potenciación puedes leer cómo calcular con potencias y qué Leyes de la potenciación hay.