Fórmula pq para resolver ecuaciones cuadráticas (Coeficiente principal uno en la ecuación completa)

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Pero, ¿qué es una ecuación cuadrática? Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma $ax^2+bx+c=0$. Las variables $a$, $b$ y $c$ pueden sustituirse por cualquier valor.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

• Ejempo 1: $x^2+2x+3=0\; \; \; →a=1,\;b=2,\;c=3$

• Ejempo 2: $2x^2+6x+2=0\; →a=2,\;b=6,\;c=2$

• Ejempo 3: $3x^2+4x+1=0 \;→a=3,\;b=4,\;c=1 $

Para que sea completamente correcto, hay que añadir que a no debe ser 0.

Aplica la fórmula pq

Una ecuación cuadrática suele tener dos soluciones $x_1$ y $x_2$. Si la ecuación cuadrática tiene la forma $x^2+px+q=0\;$, se calculan las dos soluciones $x_1$ y $x_2$ utilizando la fórmula pq de la siguiente manera:

¡Atención!

Para utilizar la fórmula pq, el factor del sumando cuadrático debe ser $a=1$. Para ello pueden ser necesarias transformaciones:

• Ejempo 1: $x^2+2x+3=0$ tiene un $1$ como factor del sumando cuadrático $a$ ($x^2$ corresponde a $1x^2$) y se puede resolver con la fórmula pq.

• Ejempo 2: $2x^2+6x+2=0$ tiene a 2 ($2x^2$) como factor del sumando cuadrático $a$ y debe transformarse primero.

Transforma el factor cuadrático

Como ya se ha dicho, el factor del sumando cuadrático $a=1$. Si no es así, se puede realizar una simple transformación, es decir, el factor antes del término cuadrático debe ponerse como $1$ y luego dividir ambos lados de la ecuación por $a$:

1. $ax^2+bx+c=\dfrac{0}{a}$

2. $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

Fórmula pq:

Ejemplos de demostración

1er Ejemplo

La fórmula $x^2+4x+3=0 \ \ \ (a=1, p=4, q=3)$ tiene un $1$ como factor y, por tanto, puede usarse la fórmula pq:

Ahora resolvemos la fórmula:

$x_{1{,}2}​=−\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓}$

$x_{1{,}2}​=−2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓}$

$x_{1{,}2}​=−2\pm\sqrt{4-3}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓}$

$x_{1{,}2}​=−2\pm\sqrt{1}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓}$

Por lo tanto $x_1=-2+1$ y $x_2 = -2-1$

Así que la solución es:

$x_1=-1\\x_2=-3$

2ndo Ejemplo

La fórmula $2x^2+8x+2=0\ \ \ (a=2,p=8,q=2)$ tiene un $2$ como factor y, por tanto, puede usarse la fórmula pq. La transformación se ve así:

Al reducirla se ve así:

Si ahora introducimos los valores en la fórmula pq, obtenemos la siguiente ecuación:

Para la solución, ahora sólo hay que resolver las fracciones:

$x_{1{,}2}​=−\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-1}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓}$

$x_{1{,}2}​=−2\pm\sqrt{4-1}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓} \\ x_{1{,}2}​=−2\pm\sqrt{3}\\ \; \; \; \ \textcolor{cc0000}{↓} \\ \text{por lo tanto}\ \ x_{1}​=−2+\sqrt{3}\ \ \text{y}\ \ x_{2}​=−2-\sqrt{3}$

Así que la solución es:

$x_1=−2+\sqrt{3}\\x_2=−2-\sqrt{3}$

¿Cómo se llega a la fórmula pq?

Se llega a la fórmula pq resolviendo una ecuación cuadrática general en la forma normal $x^2+px+q=0$ con la ayuda de complementos a la ecuación.

1- llevamos $q$ al lado derecho restando $q$:

2- Formamos el factor al ampliar $px$ simplemente con un 2:

3- Ahora utilizando complementos a la ecuación: Suma $\textcolor{ff6600}{\left( \dfrac{p}{2}\right)^2}$en ambos lados de la ecuación

4- Aplica la 1ª fórmula del binomio para escribir el lado izquierdo como un cuadrado:

5- Ahora podemos resolver para $x$ sacando primero la raíz $\pm\sqrt{ }:$

6- lleva entonces $-\frac{p}{2}$​ al otro lado:

Listo.

Relación con la fórmula cuadrática

En algunos lugares, como alternativa a la fórmula pq, también se utiliza la llamada fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticcuadras. Esta sección explica cómo se relacionan estas dos fórmulas.

1- Para que el factor previo al término cuadrático sea $1$, divide ambos lados de la ecuación por $a$:

1. $ax^2+bx+c=0$

2. $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

2- Sustituyendo los coeficientes de la ecuación en la fórmula de general, obtenemos:

Si se establece para $\frac{b}{a}=p$ y para $\frac{c}{a} = q$ obtenemos la fórmula pq: