Fórmula pq para resolver ecuaciones cuadráticas (Coeficiente principal uno en la ecuación completa)

Puedes utilizar la fórmula pq para resolver ecuaciones cuadráticas.

Este artículo explica cómo utilizar la fórmula pq con ejemplos claros. La fórmula cuadrática también se utiliza como alternativa a la fórmula pq para resolver ecuaciones cuadráticas.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Pero, ¿qué es una ecuación cuadrática? Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ . Las variables $a$ , $b$ y $c$ pueden sustituirse por cualquier valor.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

Ejempo 1: $x^{2} + 2 x + 3 = 0 \to a = 1, b = 2, c = 3$
Ejempo 2: $2 x^{2} + 6 x + 2 = 0 \to a = 2, b = 6, c = 2$
Ejempo 3: $3 x^{2} + 4 x + 1 = 0 \to a = 3, b = 4, c = 1 $

Para que sea completamente correcto, hay que añadir que a no debe ser 0.

Aplica la fórmula pq

Una ecuación cuadrática suele tener dos soluciones $x_{1}$ y $x_{2}$ . Si la ecuación cuadrática tiene la forma $x^{2} + p x + q = 0$ , se calculan las dos soluciones $x_{1}$ y $x_{2}$ utilizando la fórmula pq de la siguiente manera:

x_{1,2} ​ = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{q})}^{2} - q}

¡Atención!

Para utilizar la fórmula pq, el factor del sumando cuadrático debe ser $a = 1$ . Para ello pueden ser necesarias transformaciones:

Ejempo 1: $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ tiene un $1$ como factor del sumando cuadrático $a$ ( $x^{2}$ corresponde a $1 x^{2}$ ) y se puede resolver con la fórmula pq.
Ejempo 2: $2 x^{2} + 6 x + 2 = 0$ tiene a 2 ( $2 x^{2}$ ) como factor del sumando cuadrático $a$ y debe transformarse primero.

Al igual que en la fórmula cuadrática, no existe ninguna solución para una expresión negativa bajo la raíz, así como para ${(\frac{p}{q})}^{2} - q = 0$ las soluciones $x_{1}$ y $x_{2}$ coinciden.

Transforma el factor cuadrático

Como ya se ha dicho, el factor del sumando cuadrático $a = 1$ . Si no es así, se puede realizar una simple transformación, es decir, el factor antes del término cuadrático debe ponerse como $1$ y luego dividir ambos lados de la ecuación por $a$ :

$a x^{2} + b x + c = \frac{0}{a}$
$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

Fórmula pq:

Ejemplos de demostración

1er Ejemplo

La fórmula $x^{2} + 4 x + 3 = 0 (a = 1, p = 4, q = 3)$ tiene un $1$ como factor y, por tanto, puede usarse la fórmula pq:

x_{1,2} ​ = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 3}

Ahora resolvemos la fórmula:

$\begin{array}{l} x_{1,2} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 3} \\ ↓ \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{{(2)}^{2} - 3} \\ ↓ \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{4 - 3} \\ ↓ \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{1} \\ ↓ \end{array}$

Por lo tanto $x_{1} = - 2 + 1$ y $x_{2} = - 2 - 1$

Así que la solución es:

$\begin{array}{l} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = - 3 \end{array}$

2ndo Ejemplo

La fórmula $2 x^{2} + 8 x + 2 = 0 (a = 2, p = 8, q = 2)$ tiene un $2$ como factor y, por tanto, puede usarse la fórmula pq. La transformación se ve así:

x^{2} + \frac{8}{2} x + \frac{2}{2} = 0

Al reducirla se ve así:

x^{2} + 4 x + 1 = 0 (a = 1, p = 4, q = 1)

Si ahora introducimos los valores en la fórmula pq, obtenemos la siguiente ecuación:

x_{1,2} ​ = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 1}

Para la solución, ahora sólo hay que resolver las fracciones:

$\begin{array}{l} x_{1,2} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 1} \\ ↓ \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{4 - 1} \\ ↓ \\ x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{3} \\ ↓ \\ por lo tanto x_{1} = - 2 + \sqrt{3} y x_{2} = - 2 - \sqrt{3} \end{array}$

Así que la solución es:

$\begin{array}{l} x_{1} = - 2 + \sqrt{3} \\ x_{2} = - 2 - \sqrt{3} \end{array}$

¿Cómo se llega a la fórmula pq?

Se llega a la fórmula pq resolviendo una ecuación cuadrática general en la forma normal $x^{2} + p x + q = 0$ con la ayuda de complementos a la ecuación.

1- llevamos $q$ al lado derecho restando $q$ :

x^{2} + p x = - q

2- Formamos el factor al ampliar $p x$ simplemente con un 2:

x^{2} + p x = - q

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} x = - q

3- Ahora utilizando complementos a la ecuación: Suma ${(\frac{p}{2})}^{2}$ en ambos lados de la ecuación

x^{2} + + 2 \cdot \frac{p}{2} x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q

4- Aplica la 1ª fórmula del binomio para escribir el lado izquierdo como un cuadrado:

{(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q

5- Ahora podemos resolver para $x$ sacando primero la raíz $\pm \sqrt{} :$

x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

6- lleva entonces $- \frac{p}{2}$ al otro lado:

x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

Listo.

Relación con la fórmula cuadrática

En algunos lugares, como alternativa a la fórmula pq, también se utiliza la llamada fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticcuadras. Esta sección explica cómo se relacionan estas dos fórmulas.

1- Para que el factor previo al término cuadrático sea $1$ , divide ambos lados de la ecuación por $a$ :

$a x^{2} + b x + c = 0$
$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

2- Sustituyendo los coeficientes de la ecuación en la fórmula de general, obtenemos:

x_{1,2} = \frac{- \frac{a}{b} \pm \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{c}{a}}}{2 \cdot 1} = - \frac{\frac{a}{b}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{b}{a}}{2})}^{2} - \frac{4 \frac{a}{c}}{4}}

Si se establece para $\frac{b}{a} = p$ y para $\frac{c}{a} = q$ obtenemos la fórmula pq:

x_{1,2} = - \frac{\frac{a}{b}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{b}{a}}{2})}^{2} - \frac{4 \frac{a}{c}}{4}}

x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - \frac{4}{4} q}

x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

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