Ecuación cuadrática o de segundo grado

teniendo en cuenta que $a\in ℝ$∖{$0$}  y  $b,c\in ℝ.$

Gráfica: de Alejandro Isaías Flores Osorio en Geogebra.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

• $2x^2+3x+4=0$

• $x^2-7x=0$

• $3x^2-0$

y tambien:

• $4x^2+3=x$, ya que la ecuación se puede transformar en $4x^2-x+3=0$.

• $8x^2=27$ ya que la ecuación se puede transformar en $8x^2-27=0$

Cantidad de soluciones

Puedes averiguar la cantidad de soluciones de forma gráfica o por cálculo.

• Si la parábola está completamente por encima del eje $x$ o completamente por debajo, entonces no hay solución.

• Si el vértice de la parábola se encuentra en el eje $x$, entonces hay exactamente una solución.

• Si la parábola pasa por el eje $x$ (dos veces), entonces hay exactamente dos soluciones.

Puedes calcular la cantidad de soluciones calculando el discriminante:

• $D<0$ : no hay solución

• $D=0$ : exactamente una solución

• $D>0$ : exactamente dos soluciones

Fórmulas de solución

Para saber cuál es la solución de la ecuación cuadrática, siempre puedes utilizar la fórmula cuadrática y la fórmula pq.

Este no es siempre el método más fácil, pero más sobre esto en la sección "Resolución inteligente de ecuaciones cuadráticas".

Fórmula cuadrática

Una técnica comúnmente utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas es la fórmula cuadrática.

Determina la solución de una ecuación de la forma $a{x}^2+bx+c=0$ utilizando la fórmula:

Ejemplo:

Encuentra la solución para $3x^2-6x-9=0$.

Solución:

Lee los valores de $a$, $b$ y $c$ y sustitúyelos en la fórmula cuadrática:

$a=3,b=-6,c=-9$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot (-9)}}{2\cdot 3}}$

$={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-108}}{6}}$

$={\displaystyle \frac{6\pm 12}{6}}$

$=1\pm 2$

$\Rightarrow x_1=-1\text{y}{x}_2=3$

Fórmula pq

Puedes aplicar la fórmula pq a las ecuaciones cuadráticas de la forma $x^2+px+q=0$ donde $p,q\in ℝ$

La solución de la ecuación es entonces

Ejemplo:

Resuelve la igualdad $3x^2-6x-9=0$

Solución:

Como hay un factor de $3$ antes de $x^2$, primero hay que dividir toda la ecuación por $3$, así:

$3x^2-6x-9=0|\text{divide por }3$

$x^2-2-3=0$

Ahora aplica la fórmula pq al término $x^2-2x-3$.

Lee los valores $p$ y $q$ para ello:

$p=-2,q=-3$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=-{\displaystyle \frac{p}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2-q}\\ \end{array}$

$=-{\displaystyle \frac{-2}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{-2}{2}}\right)}^2-(-3)}$

$=-1\pm \sqrt{1+3}$

$=-1\pm \sqrt{4}$

$=-1\pm 2$

$\Rightarrow x_1=1\text{y}{x}_2=-3$

Teorema de Vieta

El teorema de Vieta es un método de solución que permite adivinar los ceros de una función por ensayo y error. Por tanto, el método sólo es adecuado si las soluciones de la ecuación son sencillas. Sin embargo, también puede utilizar el método para comprobar rápidamente los ceros de la función calculados.

Según el teorema de Vieta, las soluciones $x_1$ y $x_2$ de una ecuación de la forma $x^2+px+q=0$ cumplen las siguientes condiciones:

1. $x_1+x_2=-p$

2. $x_1\cdot x_2=q$

Ejemplo:

Resuelve la igualdad $x^2-2x-3=0$

Solución:

Lee los valores de $p$ y $q$. Aquí $p=-2$ y $q=-3$.

Ahora busca los números $x_1$ y $x_2$ que satisfacen las siguientes ecuaciones:

1. $x_1+x_2=-(-2)=2$

2. $x_1\cdot x_2=-3$

Si se consideran sólo números enteros, $x_1\cdot x_2=-3$ sólo para

• $x_1=3$ y $x_2=-1$ o

• $x_1=-3$ y $x_2=1$

Prueba si uno de los pares $(x_1,x_2)$ también cumple la primera condición:

• $x_1=3$ , $x_2=-1$ $x_1+x_2=3-1=2✓$

• $x_1=-3$ y $x_2=1$ $x_1+x_2=-3+1=-2\ne 2$

Para $x_1=3$ y $x_2=-1$ se cumplen ambas condiciones. Así que las soluciones de la ecuación son $x_1=3$ y $x_2=-1$.

Nota: Soluciones como $x_1=\mathrm{1,2}$ y $x_2=15$ difícilmente se pueden adivinar con este método. Para ello se necesitan otros métodos de solución.

Solución eficaz de ecuaciones cuadráticas

Dependiendo de su forma, las ecuaciones cuadráticas también pueden resolverse mucho más fácilmente que con la fórmula cuadrática o la fórmula pq. Aquí depende de la forma en que se encuentren.

Aquí se pueden distinguir o considerar las siguientes formas o expresiones:

• $𝒂{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}+𝒃x+𝒄=0$ (forma estándar mixta)

• $𝒂{𝒙}^{\mathrm{𝟐}}+𝒄=\mathrm{𝟎}$ (forma estándar)

• $𝒂(𝒙-𝒖)(𝒙-𝒗)=0$ (Producto cero)

• $𝒂\cdot (𝒙-𝒅{)}^{\mathrm{𝟐}}+𝒆=\mathrm{𝟎}$ (forma del vértice)

Forma estándar

Puedes reconocer rápidamente las ecuaciones en forma estándar por el hecho de que falta el sumando "con $x$". Las resuelves sacando la raíz.

Ejemplo:

resuelve $2x^2-18=0$

Solución:

$\begin{array}{l}2x^2-18=0\\ \\ \downarrow \text{pasa el}18\text{al otro lado de la ecuación}|+18\\ 2x^2=18\\ \downarrow \text{pasa el}2\text{al otro lado de la ecuación}|:2\\ x^2=9\\ \downarrow \text{saca la raíz}\\ x_{\mathrm{1,2}}=\pm 3\end{array}$

Producto cero

Un producto cero es un producto cuyo resultado es $0$. Los productos cero son, por ejemplo, las siguientes ecuaciones:

• $x\cdot (x-3)=0$

• $(x-2)(x+7)=0$

• $(-3)\cdot (x+1)(x+1)=0$

Si tu ecuación tiene esta forma o puede transformarse fácilmente en forma, puedes leer las soluciones de la ecuación.

Ejemplo:

resuelve las igualdades:

a) $(x-2)(x-7)=0$

b) $x^2=4x$

Solución para a:

Un producto es cero si uno de los factores es cero. Por tanto, deben ser $x-2=0$ o $x+7=0$ .

• $x-2=0\Rightarrow x=2$

• $x+7=0\Rightarrow x=-7$

Por tanto, la ecuación se cumple para $x_1=2$ y $x_2=-7$.

Solución para b:

Puedes transformar la ecuación en un producto cero:

$\begin{array}{l}{x}^2=4x\\ \\ \downarrow \text{pasa el}4x\text{al otro lado de la ecuación}|-4x\\ x^2-4x=0\\ \downarrow \text{factoriza}\\ x\cdot (x-4)=0\end{array}$

Por tanto da, $x=0$ o $x-4=0$.

Por tanto, las soluciones de la ecuación son $x_1=0$ y $x_2=4$.

Ecuaciones en forma del vértice

Las ecuaciones cuadráticas en forma de vértice también pueden transformarse en una ecuación cuadrática de forma estandar mixta con la ayuda de las fórmulas binomiales y luego resolverse como se ha descrito anteriormente. Sin embargo, la técnica de cálculo hacia atrás es mucho más fácil en este caso:

Ejemplo:

resuelve $3{(x-1)}^2-12=0$

Solución:

$\begin{array}{l}3\cdot {(x-1)}^2-12=0\\ \downarrow \text{pasa el}12\text{al otro lado de la ecuación}|+12\\ 3\cdot {(x-1)}^2=12\\ \downarrow \text{divide por}3|:3\\ {(x-1)}^2={\displaystyle \frac{12}{3}}\\ \\ \end{array}$

$\begin{array}{l}{(x-1)}^2=4\\ \downarrow \text{saca la raíz}\\ x-1=\pm \sqrt{4}\end{array}$

$\begin{array}{l}x-1=\pm 2\\ ;\downarrow \text{pasa el}1\text{al otro lado de la ecuación}|+1\\ x=\pm 2+1\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow x_1=2+1=3\\ x_2=-2+1=-1\\ \Rightarrow Solucion=\{-1:3\}\end{array}$