Números complejos: Introducción

¿Qué son los números complejos?

La ecuación $x^2+1=0x^2+1=0$ no tiene solución en los números reales que conoces hasta ahora. Sin embargo, si hubiera un número que elevara $-1-1$ al cuadrado, la ecuación podría resolverse. No existe tal número en los números reales $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$. Por tanto, introducimos el conjunto numérico de los números complejos $\mathbb{C}\backslash mathbb\{C\}$.  

Con eso puedes resolver la ecuación anterior: $x=\pm i\mathrm{.}x\; =\; \pm i.$

Ejemplos

• $z_1=4+3iz\_1\; =\; 4+3i$ y $z_2=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}iz\_2=\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{3\}\{5\}i$ son números complejos. Entonces, puedes sustituir cualquier número real en $aa$ y $bb$, y obtendrás un número complejo. Para $z_{1}z\_1$, la parte real es $44$ y la parte imaginaria es $33$. Para $z_{2}z\_2$, la parte real es $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ y la parte imaginaria es $\frac{3}{5}\backslash frac\{3\}\{5\}$.

• También $z_3=5iz\_3=5i$ es un número complejo. En este caso, $a=0a=0$ y $b=5b=5$. Por lo tanto, $\text{Re}(z_3)=0\backslash text\{Re\}(z\_3)=0$ e $\text{Im}(z_3)=5\backslash text\{Im\}(z\_3)=5$.

• $z_4=4z\_4=4$ es un número real, pero también es un número complejo. En este caso, $a=4a=4$ y $b=0b=0$. Por lo tanto, $\text{Re}(z_4)=4\backslash text\{Re\}(z\_4)=4$ e $\text{Im}(z_4)=0\backslash text\{Im\}(z\_4)=0$.

Los números reales son un subconjunto de los números complejos.

Los números reales $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ son un subconjunto de los números complejos $\mathbb{C}\backslash mathbb\{C\}$. Esto significa que cada número real también es un número complejo, pero no todos los números complejos son números reales.

De manera similar, por ejemplo, los números naturales $\mathbb{N}\backslash mathbb\{N\}$ son un subconjunto de los números reales $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$. Cada número natural es también un número real, pero no todos los números reales son números naturales. Por ejemplo, el número natural $44$ es también un número real, pero el número real $\mathrm{2,67}2\{,\}67$ no es un número natural.

Términos importantes

Es decir, se sustituye el más del medio por un menos.

El valor absoluto también se suele representar con la letra $rr$.

Con el número complejo conjugado también se cumple: $z\cdot \bar{z}={\mid z\mid }^{2}z\backslash cdot\backslash overline\{z\}=\backslash left|z\backslash right|^2$

Ejemplos

La cantidad conjugada compleja de $z_1=3+4iz\_1=3+4i$ se obtiene al reemplazar el signo más por un signo menos. Por lo tanto, la cantidad conjugada compleja es $\overline{z_1}=3-4i\backslash bar\{z\_1\}=3-4i$.

¿Cuál es el número complejo conjugado de $z_2=2-iz\_2=2-i$? Aquí no hay un más, sino un menos en el centro. Sin embargo, puedes reescribir $z_{2}z\_2$: $z_2=2-i=2+(-i)z\_2=2-i=2+(-i)$.

Ahora puedes cambiar el más por un menos para formar los complejos conjugados:

$\overline{z_2}=2-(-i)=2+i\backslash bar\{z\_2\}=2-(-i)=2+i$

Calcula además los valores absolutos de: $z_1,\overline{z_1}z\_1,\; \backslash bar\{z\_1\}$ y $z_{2}z\_2$:

Para $z_1=3+4iz\_1=3+4i$ es $a=3a=3$ y $b=4b=4$. Lo colocas en la fórmula para el valor absoluto:

$\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\backslash vert\; z\_1\; \backslash vert\; =\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=\backslash sqrt\{9+16\}=\backslash sqrt\{25\}=5$

Para $z_1=3+4iz\_1=3+4i$ es $a=3a=3$ y $b=-4b=-4$. El valor absoluto es entonces:

$\mathrm{\mid }\overline{z_1}\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\backslash vert\; \backslash bar\{z\_1\}\; \backslash vert\; =\backslash sqrt\{3^2+(-4)^2\}=\backslash sqrt\{9+16\}=\backslash sqrt\{25\}=5$

Para $z_2=2-iz\_2=2-i$ es $a=2a=2$ y $b=-1b=-1$. El valor absoluto es entonces::

$\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\backslash vert\; z\_2\; \backslash vert\; =\backslash sqrt\{2^2+(-1)^2\}=\backslash sqrt\{4+1\}=\backslash sqrt\{5\}$

Sigue con los siguientes temas:

• Números complejos: Adición y sustracción de dos números complejos

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