Curso

Operaciones aritméticas con números enteros

1 Descripción general

Contenido del curso

En este curso se puedes aprender a calcular con números enteros. En primer lugar, la adición y la sustracción se explican con un modelo de crédito/deuda, seguidas por la multiplicación y la división.

Conocimiento previo

Deberías ser capaz de hacer toda la aritmética básica y estar familiarizado con los números enteros.

Duración del curso

El curso dura aproximadamente una hora y media.

2 El menos

Ya has tenido alguna experiencia con el signo menos "-". Pero este símbolo puede ser muy diferente dependiendo de la situación. Consideremos, por ejemplo, las siguientes expresiones:

3 \displaystyle -3\
53=2\displaystyle 5-3=2

¿Qué diferencias ves entre los dos usos del menos "-"?

El menos

Describe con palabras lo que podría significar la siguiente expresión:

"5(3)"\displaystyle "5-(-3)"

3 Signo y elemento opuesto

Importante: El menos "-" puede ser el signo para idicar que el número es negativo , también el menos "-" puede ser el símbolo para una operación aritmética de sustracción.

Si hay dos signos inmediatamente uno después del otro en un cálculo, el primero es para la operación aritmética y el segundo para determina su signo. 

Símbolo para la operación aritmética

  • Ejemplos: 535-3 o 2+52+5

  • Antes y después del símbolo hay un número.

  • Está ocurriendo un cálculo: restando (sustracción) o sumando (adición).

  • Hay un resultado (una diferencía o en tal caso una suma.)

Signo para indicar positivo o negativo

  • Ejemplos: 3-3 ó 5-5

  • Cuando está justo antes del número es un signo.

  • El "++" también puede aparecer como un signo.

  • Con el signo se indica si el número es positivo o negativo.

  • Para los números positivos generalmente el signo "++" no se coloca.

Nota: para que sea mas fácil la lectura de la aritmética y los cálculos, no se colocan dos signos seguidos uno del otro. Para estos casos se utilizan los paréntesis.

Ejemplo del uso del paréntesis:

3(4)(+2)3-(-4)-(+2)

Ejercicio para diferenciar:

¿Cúal es un símbolo aritmético (operador matemático) y cuál es un signo?

108+(3)+(+2)\displaystyle −10−8+(−3)+(+2)

4 Hallazgos

Veamos estos casos:

Ejemplo 1:

5+2=7\displaystyle 5+2=7

7+(5)=27\textcolor{ff6600}{+}(\textcolor{ff6600}{-}5)=2 también 75=27-5=2

Cuando un + \textcolor{ff6600}{+}\ y un \textcolor{ff6600}{-} están antes de un número, puedes reemplazarlos por un \textcolor{ff6600}{-}.

Ejemplo 2:

23=1\displaystyle 2−3=−1

Como puedes ver, los resultados negativos como el 1-1 son posibles.

Ejemplo 3:

1(4)=5\displaystyle 1\textcolor{ff6600}{-}(\textcolor{ff6600}{-}4)=5

Evidentemente esto es lo mismo que 1+4=51+4=5. También aplica esta regla:

Cuando un \textcolor{ff6600}{-} y un \textcolor{ff6600}{-} están antes de un número, puedes reemplazarlos por un +\textcolor{ff6600}{+}.

Ejemplo 4:

23=5\displaystyle −2−3=−5

Ejemplo 5:

5(2)=35+2=3\displaystyle −5\textcolor{ff6600}{-}(\textcolor{ff6600}{-}2)=−3\\-5\textcolor{ff6600}{+}2=-3

Cuando un \textcolor{ff6600}{-} y un \textcolor{ff6600}{-} están antes de un número, puedes reemplazarlos por un +\textcolor{ff6600}{+}.

5 Ejemplos con adición y sustracción

Ejemplo 1.

Calcula: 7107-10

Ejemplo 2.

Calcula: 1(1)1-(-1)

Ejemplo 3.

Calcula: 1+(9)−1+(−9)

6 Multiplicación con números enteros

¿Recuerdas la relación entre la multiplicación y la suma?

Una multiplicación también puede hacerse con varias sumas. Mira este ejemplo:

75=5+5+5+5+5+5+57 por 5=35\displaystyle 7⋅5=\underbrace{5+5+5+5+5+5+5}_{7 \ por \ 5}=35

"Positivo por Negativo"

Dela misma manera puedes pensar en cómo multiplicar por un número negativo:

3(4)=?3⋅(−4)=?

Si lo haces de la misma manera que arriba, pueds descubrir la regla tu mismo:

3(4)=(4)+(4)+(4)3⋅(−4)=(−4)+(−4)+(−4)

Observa: El resultado no ha cambiado debido al menos (también 34=123⋅4=12), pero el signo sí cambio. El resultado es ahora negativo.

"Negativo por Positivo"

Como siempre, al multiplicar, se debe aplicar lo siguiente:

Si se intercambian ambos factores, el resultado no cambia. (Ley conmutativa)

Porlo tanto, también para los números negativos se puede llegar a esta conclusión:

(4)3=3(4)=12(−4)⋅3=3⋅(−4)=-12

Regla para el cálculo

Si se multiplica un número positivo y uno negativo, el resultado es negativo.

Resumen: "positivo por negativo es negativo" de la misma manera "negativo por positivo es negativo"

"+=+⋅−=−" así mismo "+=−⋅+=−"

7 Número negativo por número negativo (1/2)

Ya puedes multiplicar los números negativos con los números naturales.

¿Pero cómo funciona con la multiplicación de dos números negativos?

Considera los siguientes cálculos:

Deberías ser capaz de entender estos cálculos con los conocimientos que has adquirido en el curso hasta ahora.

Ahora trata de pensar en cómo se podría continuar esta serie, y qué usarías para los dos signos de interrogación antes de hacer clic en la siguiente página del curso.

Negativo por negativo

8 Número negativo por número negativo (2/2)

Tal vez encontraste la solución correcta, revisa:

Número negativo por número negativo

Puedes identificar que (1)(2)=+2(-1)⋅(-2)=+2 y de esta manera continuar el modelo:

(2)(2)=+4(3)(2)=+6(4)(2)=+8(5)(2)=+10\displaystyle (−2)⋅(−2)=+4\\ (−3)⋅(−2)=+6\\(−4)⋅(−2)=+8\\(−5)⋅(−2)=+10\\

y así en adelante.

Esto resulta en la siguiente regla:

Negativo por negativo es igual a positivo.

Así que un número negativo por un número negativo resulta en un número positivo.

9 Ejemplos con multiplicación

Ejemplo 1.

Calcula: 9(8)9⋅(−8)

Ejemplo 2.

Calcula: 12+(3)(5)−1⋅2+(−3)⋅(−5)

Ejemplo 3.

Calcula: 17(17)17⋅(−17)

Ejemplo 4.

Calcula: 4+5(6)4+5⋅(−6)

Ejemplo 5.

Calcula: (5)(3)2(2)10(−5)⋅(−3)⋅2−(−2)⋅10

10 División con números enteros (1/2)

Ahora que sabes multiplicar, la división ya no es difícil.

Por los números naturales sabes que

12:4=312:4=3, porque 34=123⋅4=12.  

Así que tal división es la inversa de la multiplicación.

inversa

Ya sabes el resultado de la multiplicación de dos números enteros. Así que ya sabes:

5(2)=105⋅(-2)=-10.

¿Qué podrías usar para resolver el signo de interrogación en (10):?=5(-10): ?=5?

pregunta a la inversa

Ejemplos

Ejemplos

21:(7)=3      (24):6=4\displaystyle 21:(−7)=−3\ \ \ \ \ \ (−24):6=−4

11 División con números enteros (2/2)

En la última página del curso vimos:

De este resultado podemos decir:

(10):(2)=5(−10):(−2)=5

Negativo dividido negativo es positivo

21:(7)=321:(−7)=-3

Positivo dividido negativo es negativo

(24):6=4(−24):6=-4

Negativo dividido positivo es negativo

Al igual que con la multiplicación, esto significa:

Si cambias un signo del dividendo o del divisor, cambia el signo del cociente.

Ejemplos

Ejemplo

1.

12:2=612:2=6

66 es el cociente de los números positivos 1212 y 22.

2.

12:(2)=6 oˊ(12):2=612:(−2)=−6\ ó\\ (−12):2=−6

Aquí, comparado con el ejemplo 1 en ambos casos se cambió un signo y ya el resultado es negativo.

3.

(12):(2)=6(-12):(−2)=−6

Comparado con el ejemplo 2 del renglón de arriba se cambió un signo y el resultado cambia de signo también. Comparado con el ejemplo 1 del primer renglón se cambiaron ambos signos y el resultado vuelve a ser positivo.

12 Ejemplos con división

Ejemplo 1.

Calcula: (153):9(−153):9

Ejemplo 2.

Calcula: (153):(9)(−153):\left(-9\right)

Ejemplo3.

Calcula: 256:(4)256:\left(-4\right)

13 Resumen

Esto se aplica a todos los tipos de cálculo:

Adición y sustracción

Si ++ y - están delante del mismo número, puedes reemplazarlo con un un solo signo -, así:

+(9)=9+(-9)=-9

y

(+9)=9−(+9)=−9

Si delante del mismo número están un - y un -, puedes reemplazarlo con un ++, así:

(9)=+9 −(−9)=+9

Multiplicación y división

"Positivo por negativo da negativo" y Negativo por positivo da negativo".

(+9)(9)=81\left(+9\right)⋅(−9)=−81

de la misma manera,

(9)(+9)=81\left(−9\right)⋅(+9)=−81

Para la división aplica: "Positivo dividido negativo da negativo" y "Negativo dividido positivo da negativo",

de la misma manera que "Negativo dividido negativo da positivo".


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