Regla de tres

La regla de tres es un método que puede utilizarse para resolver problemas de proporcionalidad.

Se utiliza sobre todo para proporciones directas.

A continuación se describe cómo puedes utilizarlo para resolver problemas de proporciones indirectas.

La estructura básica es la siguiente:

Se dan dos cantidades proporcionales (constante de proporcionalidad, cantidad asignada) con valores fijos.
Se cambia el valor del tamaño de la cantidad básica.
El nuevo valor de la cantidad asociada se calcula mediante la regla de tres.

En el siguiente ejemplo puedes ver cómo se aplica la regla de tres.

Este artículo contiene:

Procedimiento con ejemplo de proporción directa
Procedimiento con ejemplo de proporción indirecta
Ejemplos de muestra
Resumen

Procedimiento con ejemplo de proporción directa

Quieres hacer un pastel para 7 personas. La última vez que hiciste un pastel para 4 personas, utilizaste 200 g de harina. ¿Cuánta harina necesitas para hacer un pastel para 7 personas?

Piensa en qué cantidades están implicadas y si existe una relación de dependencia entre ellas.

Las cantidades implicadas son, obviamente, el número de personas para las que se hornea el pastel y la cantidad de harina necesaria para ello. El número de personas es la cantidad básica y la cantidad de harina es la cantidad a asignar. Estas cantidades son directamente proporcionales.

Ahora puedes examinar la estructura del ejercicio:

Tienes dos cantidades directamente proporcionales, a saber, el número de personas como cantidad básica y la cantidad de harina como cantidad a asignar.
Sabes que necesitas 200 g de harina para 4 personas.
Una de las dos cantidades cambia, concretamente el número de personas. Aumenta de $4$ a $7$ .
Lo que buscas es la cantidad de harina que necesitas para esas $7$ personas.

Por supuesto, el ejercicio tiene la estructura básica descrita anteriormente.

En consecuencia, ahora puedes aplicar la regla de tres, procediendo así:

Sabes que necesitas 200 g de harina para 4 personas (esto corresponde a 4 unidades de la cantidad básica) y ahora quieres averiguar cuánta harina necesitas para 1 persona (esto corresponde a 1 unidad de la cantidad básica). Como el número de personas y la cantidad de harina son directamente proporcionales, divide la cantidad de harina para 4 personas, es decir, $200\text{g}$ , entre $4$ .

$\frac{200\text{g}}{4}={50\text{g}}$

Así que ya sabes que necesitas $50\text{g}$ de harina para $1$ persona.

Como las cantidades de personas y de harina son directamente proporcionales, puedes calcular la cantidad de harina para 7 personas multiplicando la cantidad de harina para $1$ persona, es decir, $50\text{g}$ por $7$ .

$7\cdot50\text{g}=350\text{g}$

Esta es la cantidad que buscas. Por lo tanto, necesitas utilizar $350\text{g}$ de harina para $7$ personas.

En resumen, esto es lo que has hecho:

Paso	Calculo	Descripción
1.	$4$ personas $=200\text{g}$	Calcula cuánta harina se necesita para una persona.
2.	$\dfrac{200\text{g}}{4}=50\text{g}$	Calcula cuánta harina se necesita para una persona.
3.	$7\cdot50\text{g}=350\text{g}$	Para $7$ personas la receta necesita $350\text{g}$ de harina.

Puedes ver claramente que se han realizado exactamente 3 pasos. De ahí viene el nombre regla de tres.

Procedimiento general paso a paso

La regla de tres suele constar de tres pasos:

Primer paso: Encuentra la pareja de valores dada y escríbela.

A partir de la definición del problema, identificas las dos cantidades que son objeto de la tarea y buscas un par de valores que vayan juntos.

Este par de valores se anotan. Para ello se utilizas el símbolo " $\widehat{=}$ " que para denotar "corresponde".

La variable que cambia en el cálculo debe estar a la izquierda; la otra variable, es decir, aquella cuyo nuevo valor se busca, está entonces a la derecha.

En general	En el ejemplo
Cantidad $a\ \widehat{=}$ Cantidad $b$	$4$ Personas $\widehat{=}200\text{g}$
Nota: Aquí a y b son valores numéricos para las dos cantidades.

Segundo paso: Pasar de la multiplicidad a la unidad.

Divides ambos lados por el mismo número de manera que haya una unidad en el lado izquierdo para la cantidad en cuestión.

Nota: Si antes ya había 1 unidad en el lado izquierdo, por supuesto puedes saltarte el segundo paso.

En general	En el ejemplo
Los valores del lado izquierdo y derecho unidos por el símbolo $\widehat{=}$ "corresponde" se dividen por $a$ , que es la cantidad del lado izquierdo.	$1$ Persona $\widehat{=} 50\text{g}$ de harina. Dado que $200\text{g}:4=50\text{g}$
De esta manera se ubica la unidad " $1$ " en el lado izquierdo.
$1$ $\widehat{=} \dfrac{b}{a}$ Cantidad

Tercer paso: Pasar de la unidad a la multiplicidad .

Multiplica ambos lados de forma que el lado izquierdo contenga el nuevo valor de una de las cantidades especificadas en el problema.

Entonces, en la parte derecha, obtenemos el nuevo valor que buscamos.

En general	En el ejemplo
En el cálculo, se da un nuevo valor $c$ para la cantidad que ahora está en el lado izquierdo con 1 unidad.	$7$ Personas $\widehat{=} \ 350\text{g}$ de harina. Dado que $7\cdot50\text{g}=350\text{g}$
Ambos lados se multiplican por $c$ .
Cantidad $c$ $\widehat{=} \ (c \cdot \dfrac{b}{a})$ Cantidad

Resumen de lo que hiciste:

$a$ Cantidad	$\widehat{=}$	$b$ Cantidad	Divide por $a$
$1$ Cantidad	$\widehat{=}$	$\dfrac{b}{a}$ Cantidad	Multiplica por $c$
$c$ Cantidad	$\widehat{=}$	$(c \cdot \dfrac{b}{a})$ Cantidad

Procedimiento con ejemplo de proporción indirecta

Estás haciendo la decoración de la mesa para una fiesta de cumpleaños con tu hermana. Si trabajan juntos en la decoración sin descanso, les llevará $6$ horas. ¿Cuánto tiempo tardarás si les ayuda un amigo?

Piensa en qué cantidades están implicadas y si existe una relación entre ellas.

Las variables que intervienen parecen ser el número de personas que se ocupan y la duración (número de horas) trabajando. Estas cantidades son indirectamente proporcionales.

Ahora puedes examinar la estructura del ejercicio:

Tienes dos cantidades indirectamente proporcionales, a saber, el número de personas como cantidad básica y la duración como cantidad asignada.
Sabes que $2$ personas necesitan $6$ horas.
Una de las dos cantidades cambia, concretamente el número de personas. Aumenta de $2$ a $3$ .
Buscamos la duración de la actividad cuando $3$ personas trabajan en la decoración de la mesa.

Evidentemente, el cálculo tiene la estructura básica descrita anteriormente.

Así pues, ahora puedes aplicar la regla de tres, procediendo así:

Cada persona describe $1$ unidad, es decir, el número total de personas. Sabes que 2 personas (esto corresponde a $2$ unidades) necesitan $6$ horas y ahora quieres averiguar cuánto tiempo tardan cuando $3$ personas (esto corresponde a $3$ unidades) trabajan juntas. Como el número de personas y la duración son indirectamente proporcionales, multiplica por 2 la duración de 2 personas, es decir, 6 horas.

$6\ \text{horas}\cdot2=12\ \text{horas}$

Así que ahora sabes que $1$ persona tardaría 12 horas en hacer el mismo trabajo.

Como el número de personas y la duración son indirectamente proporcionales, puedes calcular la duración para 3 personas dividiendo la duración para 1 persona, es decir, 12 horas dividido entre 3.

$12\ \text{horas}\div3=4\ \text{horas}$

Esta es la unidad que buscas. Por lo tanto, con $3$ personas puedes hacer la decoración de la mesa en sólo $4$ horas.

En resumen, esto es lo que has hecho:

$2$ Personas	$\widehat{=}$	$6$ horas	Calcula el tiempo que se necesita una persona.
$1$ Persona	$\widehat{=}$	$6$ horas $\cdot2=12$ horas	Calcula el tiempo que se necesitan tres personas.
$3$ Personas	$\widehat{=}$	$6$ horas $\div3=4$ horas

Resumen de lo que hiciste:

$a$ Unidades	$\widehat{=}$	$b$ Unidades	Multiplica por $a$
$1$ Unidad	$\widehat{=}$	$b\cdot a$ Unidades	Divide por $c$
$c$ Unidades	$\widehat{=}$	$(\dfrac{b \cdot a}{c})$ Unidades

Ejemplos de muestra

1- Ejemplo de muestra

Con 5 cubetas, el jardinero Felipe puede llenar un total de 40 litros en su barril de lluvia. ¿Qué cantidad de agua resulta de 12 cubetas?

Solucion:

Paso 1	$5\ \text{cubetas}$	$\widehat{=}$	$40\ \text{litros}$	Divide por 5.
Paso 2	$1\ \text{cubeta}$	$\widehat{=}$	$\dfrac{40}{5}\ =\ 8\ \text{litros}$	Multiplica por 12.
Paso 3	$12\ \text{cubetas}$	$\widehat{=}$	$12 \cdot 8 = 93\ \text{litros}$

Así, con 12 cubos, la cantidad total de llenado es de 96 litros.

2- Ejemplo de muestra

5 vasos cuestan 20€. ¿Cuánto cuestan 3 vasos?

Nota: La aplicación de la regla de tres es admisible en este caso, porque cada vaso cuesta lo mismo. Así que el precio aumenta de forma directamente proporcional al número de vasos.

Procedimiento para la solucion:

Ordena la información y nombra la cantidad desconocida $x$ :

Cantidad	Precio
$5$ vasos	$20€$
$3$ vasos	$x$

$x$ describe un precio y, por tanto, tiene la unidad $€$ .

Asignación:

$5$ vasos	$\rightarrow$	$20€$	Divide por
$1$ vaso	$\rightarrow$	$\dfrac{20}{5}\ =4€$	Multiplica por
$3$ vasos	$\rightarrow$	$x=3\cdot4=12€$

$5$ vasos	$\rightarrow$	$20€$	Divide por $5$
$1$ vasos	$\rightarrow$	$\frac{20}{5}=\ 4€$	Multiplica por $3$
$3$ vasos	$\rightarrow$	$x=3\cdot4=12€$

Pasos para la regla de tres:

Paso 1	$5$ vasos	$\widehat{=}$	$20€$	Divide por $5$
Paso 2	$1$ vaso	$\widehat{=}$	$\frac{20}{5}=4€$	Multiplica por $3$
Paso 3	$3$ vasos	$\widehat{=}$	$3\cdot4=12€$

Respuesta: Así que $3$ vasos cuestan $12€$ .

3- Ejemplo de muestra

Ana y sus amigas quieren pintar juntas la valla del jardín. Han calculado que las cinco necesitarán 20 horas para hacerlo. Cuando quieren empezar, una de las amigas está enferma. ¿Cuánto tiempo necesitarán las chicas ahora?

Solución:

Paso 1	$5$ Personas	$\widehat{=}$	$20$ horas	Multiplica por
Paso 2	$1$ Persona	$\widehat{=}$	$20$ horas $\cdot5=100$ horas	Divide por
Paso 3	$4$ Personas	$\widehat{=}$	$100$ horas $\div 4=25$ horas

Cuatro chicas tardan 25 horas.

Resumen

Con la regla de tres es sobre todo importante que aclares al principio, qué unidades hay que tener en cuenta y cómo se ubica una debajo de cada una.
En el primer paso siempre están las cantidades de las que sabes que tienen una relación.
En la segundo paso siempre hay un $1$ a la izquierda.
En el tercer paso encuentras el valor que buscas a la derecha.
Ten en cuenta de poner a las cantidades su correspondiente unidad (es decir: precio, longitud, pieza, presonas, cubetas...), colocando una debajo de otra.

A menudo la columna de la izquierda muestra el número de piezas o la cantidad, mientras que la columna de la derecha muestra el precio, el tamaño o algo similar.

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