Sistemas numéricos

El sistema binario (sistema dual)

El sistema binario también se llama sistema dual. Para describir dos estados opuestos (por ejemplo, encendido - apagado), se suelen utilizar los símbolos $00$ y $11$. Un computador puede leer e interpretar esta información. Por ejemplo, el procesador de un teléfono celular, como el de la imagen de la derecha, funciona sobre la base del sistema binario.

Sí, las matemáticas permiten todas las funciones que puede ofrecer un celular intenligente (smartphone).

El sistema binario representa los valores numéricos mediante los dígitos $00$ y $11$. Es un sistema de valor posicional de base 2, por lo que los valores posicionales son $2^0,2^1,2^2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}2^0,\; 2^1,\; 2^2,\; ...$ empezando por la derecha.

En el sistema binario, una tabla de valores posicionales se ve así:

Así, el número 10012 en el sistema binario tiene el valor $99$, porque $9=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^{0}9=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\backslash cdot2^0$. Esta relación se explica con más detalle en la siguiente sección.

Convertir del sistema binario al sistema decimal

Para convertir un número del sistema binario al sistema decimal, multiplica la cifra por el valor posicional correspondiente y suma los productos.

Ejemplo

Multiplica el número por el valor de arriba.

Escribe $(101110{)}_2(101110)\_2$ como una suma:

$101110=1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0=32+0+8+4+2+0=46\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; 1\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; 1\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; 1\backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; 1\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,0\backslash \backslash \; \backslash ,\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2^5\backslash ,\; +\; 0\backslash cdot2^4\backslash ,\; +\; 1\backslash cdot2^3\backslash ,\; +1\backslash cdot2^2\backslash ,\; +1\backslash cdot2^1\backslash ,\; +0\backslash cdot2^0\backslash \backslash \; \backslash ,\; =\; 32\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,+\; \backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,0\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,+\; 8\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,+4\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,+2\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,+0\backslash \backslash \backslash ,\; =\; 46$

Convertir del sistema decimal al sistema binario

Si se te ha dado un número decimal, se procede de acuerdo con el siguiente procedimiento:

Ejemplo

Queremos representar el 59 como un número binario.

El sistema hexadecimal

"Hexadecimal" es una palabra mixta del griego hexa - seis - y del latín decem - diez. El sistema hexadecimal es, por tanto, un sistema de valor posicional con una base de 16. Como se necesitan 16 dígitos para expresar números en el sistema hexadecimal, se necesitan otros símbolos además de los dígitos $0,1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},90,\; 1,\; ...,\; 9$. Son A, B, C, D, E y F.

Relación entre el sistema binario y el sistema hexadecimal

El sistema hexadecimal se utiliza a menudo en el procesamiento de datos. Es práctico porque la información que necesitaría 8 dígitos en el sistema binario puede representarse con sólo 2 dígitos. ¡Por eso es mucho más rápido!

La conversión de estos dos sistemas es relativamente sencilla, porque el propio $1616$ es una potencia de dos, es decir, 1$6=2^{4}6=2^4$.

$(10000110{)}_2=(\underset{\text{corresponde a la cifra }8}{\underbrace{1000}}\underset{\text{corresponde a la cifra }6}{\underbrace{0110}}{)}_2=(86{)}_{16}\backslash ,(1000\backslash ;\; 0110)\_2\; =\; (\; \backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\; \{\backslash underbrace\{1\backslash ,0\backslash ,0\backslash ,0\}\_\{\backslash text\{corresponde\; a\; la\; cifra\; \}8\}\}\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\{\backslash underbrace\{0\backslash ,1\backslash ,1\backslash ,0\}\_\{\backslash text\{corresponde\; a\; la\; cifra\; \}6\}\}\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,)\_2\; =\; (8\backslash ,\backslash ,6)\_\{16\}$

Convertir del sistema hexadecimal al sistema decimal

rocede de la misma manera que con el sistema binario, salvo que aquí la base es $1616$, por lo que los valores de posición son ${16}^0,{16}^1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}16^0,\; 16^1,\; ...$

Ejemplo:

Escribe $(5D6A{)}_{16}(5D6A)\_\{16\}$ a base $1616$.

Multiplicar dígitos y valor posicional:

$(5D6A{)}_{16}=A\cdot {16}^0+6\cdot {16}^1+D\cdot {16}^2+5\cdot {16}^3=10\cdot {16}^0+6\cdot {16}^1+13\cdot {16}^2+5\cdot {16}^3(5D6A)\_\{16\}\; \backslash ,=\; A\backslash cdot16^0+6\backslash cdot16^1+D\backslash cdot16^2+5\backslash cdot16^3\backslash \backslash \; \backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,=10\backslash cdot16^0+6\backslash cdot16^1+13\backslash cdot16^2+5\backslash cdot16^3$

calcula:

$=10+96+3328+20480=23914\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,=10+96+3\backslash ,328+20\backslash ,480\backslash \backslash \; \backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,\backslash ,=23\backslash ,914$

Convertir del sistema decimal al sistema hexadecimal

También aquí se procede como con el sistema binario. Sin embargo, no se divide por 2 sino por 16:

Si has dado un número decimal, procede según el siguiente procedimiento:

Ejemplo

Representa el número $9823698236$ en el sistema hexadecimal