Sistemas numéricos

Varios sistemas de valor posicional pertenecen a los sistemas numéricos.

En la vida cotidiana, el sistema decimal se utiliza en casi todas partes. Pero especialmente cuando se trata de tecnología, otros dos sistemas cobran importancia: el sistema binario y el hexadecimal.

El sistema binario (sistema dual)

El sistema binario también se llama sistema dual. Para describir dos estados opuestos (por ejemplo, encendido - apagado), se suelen utilizar los símbolos $0$ y $1$ . Un computador puede leer e interpretar esta información. Por ejemplo, el procesador de un teléfono celular, como el de la imagen de la derecha, funciona sobre la base del sistema binario.

Sí, las matemáticas permiten todas las funciones que puede ofrecer un celular intenligente (smartphone).

El sistema binario representa los valores numéricos mediante los dígitos $0$ y $1$ . Es un sistema de valor posicional de base 2, por lo que los valores posicionales son $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, . . .$ empezando por la derecha.

En el sistema binario, una tabla de valores posicionales se ve así:

valor		$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
9		1	0	0	1

Así, el número 10012 en el sistema binario tiene el valor $9$ , porque $9 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$ . Esta relación se explica con más detalle en la siguiente sección.

Convertir del sistema binario al sistema decimal

Para convertir un número del sistema binario al sistema decimal, multiplica la cifra por el valor posicional correspondiente y suma los productos.

Ejemplo

Multiplica el número por el valor de arriba.

Valor posicional		$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
Cifra		1	0	1	1	1	0

Escribe $(101110)_{2}$ como una suma:

$\begin{array}{l} 1 0 1 1 1 0 \\ = 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} \\ = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 \\ = 46 \end{array}$

Convertir del sistema decimal al sistema binario

Si se te ha dado un número decimal, se procede de acuerdo con el siguiente procedimiento:

ApproachConvertir del sistema decimal al sistema binario

Divide el número con residuo entre 2 y escribe el residuo.
Vuelve a dividir el resultado por 2 y anota el residuo.
Continúa hasta que el resultado sea 0.
El número binario que buscas son los dígitos de los residuo, empezando por el último residuo.

Ejemplo

Queremos representar el 59 como un número binario.

Descripción	Cálculo
Divide $59$ entre $2$ :	$59 : 2 = 29 R 1$
Como $29 \neq 0$ , divide $29$ entre $2$ :	$29 : 2 = 14 R 1$
Como $14 \neq 0$ , divide $14$ entre $2$ :	$14 : 2 = 7 R 0$
Como $7 \neq 0$ , divide $7$ entre $2$ :	$7 : 2 = 3 R 1$
Como $3 \neq 0$ , divide $3$ entre $2$ :	$3 : 2 = 1 R 1$
Como $1 \neq 0$ , divide $1$ entre $2$ :	$1 : 2 = 0 R 1$
Los residuos, empezando por abajo, dan el número que buscas:	$59 = (111011)_{2}$

El sistema hexadecimal

"Hexadecimal" es una palabra mixta del griego hexa - seis - y del latín decem - diez. El sistema hexadecimal es, por tanto, un sistema de valor posicional con una base de 16. Como se necesitan 16 dígitos para expresar números en el sistema hexadecimal, se necesitan otros símbolos además de los dígitos $0, 1, . . ., 9$ . Son A, B, C, D, E y F.

Relación entre el sistema binario y el sistema hexadecimal

El sistema hexadecimal se utiliza a menudo en el procesamiento de datos. Es práctico porque la información que necesitaría 8 dígitos en el sistema binario puede representarse con sólo 2 dígitos. ¡Por eso es mucho más rápido!

La conversión de estos dos sistemas es relativamente sencilla, porque el propio $16$ es una potencia de dos, es decir, 1 $6 = 2^{4}$ .

Note

¡Esto significa que cada cuatro dígitos en el sistema binario corresponden a un dígito en el sistema hexadecimal!

$(1000 0110)_{2} = (\underset{corresponde a la cifra 8}{\underset{⏟}{1 0 0 0}} \underset{corresponde a la cifra 6}{\underset{⏟}{0 1 1 0}})_{2} = (8 6)_{16}$


Valor numérico	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
sistema hexadecimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Convertir del sistema hexadecimal al sistema decimal

rocede de la misma manera que con el sistema binario, salvo que aquí la base es $16$ , por lo que los valores de posición son $16^{0}, 16^{1}, . . .$

Ejemplo:

Escribe $(5 D 6 A)_{16}$ a base $16$ .

Multiplicar dígitos y valor posicional:

$\begin{array}{l} (5 D 6 A)_{16} = A \cdot 16^{0} + 6 \cdot 16^{1} + D \cdot 16^{2} + 5 \cdot 16^{3} \\ = 10 \cdot 16^{0} + 6 \cdot 16^{1} + 13 \cdot 16^{2} + 5 \cdot 16^{3} \end{array}$

calcula:

$\begin{array}{l} = 10 + 96 + 3 328 + 20 480 \\ = 23 914 \end{array}$

Convertir del sistema decimal al sistema hexadecimal

También aquí se procede como con el sistema binario. Sin embargo, no se divide por 2 sino por 16:

Si has dado un número decimal, procede según el siguiente procedimiento:

Approach

Divide el número con residuo entre 16 y escribe el residuo.
Vuelve a dividir el resultado entre 16 y anota el residuo.
Continúa hasta que el resultado sea 0.
El número binario que buscas son los dígitos de los restos, empezando por el último residuo.

Atención: ¡Recuerda convertir los residuos de 10 a 15 en los valores de A a F!

Ejemplo

Representa el número $98236$ en el sistema hexadecimal

Descripción	Calculo
Divide $98236$ en $16$ :	$98236 : 16 = 6139 R 12 = C$
Como $6139 \neq 0$ , divide $6139$ por $16 :$	$6139 : 16 = 383 R 11 = B$
Como $383 \neq 0$ , divide $383$ por $16$ :	$383 : 16 = 23 R 15 = F$
Como $23 \neq 0$ , divide $23$ por $16 :$	$23 : 16 = 1 R 7$
Como $1 \neq 0$ , divide $23$ por $16$ :	$1 : 16 = 0 R 1$
Los residuos, empezando por abajo, dan el número que buscamos:	$98236 = (17 F B C)_{16}$

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