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Calcular el cero de una función

Para calcular los ceros de una función ff, hay que encontrar los valores x para los que f(x)=0f(x)=0.

Por lo tanto, normalmente se establece el término de la función igual a cero y se intenta resolver la igualdad resultante para xx.

gráfica de ceros de una función

Funciones lineales

Una función lineal tiene la forma f(x)=m⋅x+t f(x)=m \cdot x + t

Ejemplo

Tenemos el ejemplo f(x)=3x−2f(x)=3x-2. Para calcular el punto cero aquí, ponemos f(x)=0f(x)=0 y resolvemos para xx.

f(x)=3x−2                  ↓Establece el teˊrmino de la funcioˊn igual a 0            0=3x−2                  ↓pasa el dos al otro lado de la igualdad         ∣+2            2=3x                  ↓Resuelve la igualdad            x=23⟹El punto cero en x es: x=23f(x)=3x-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Establece el término de la función igual a 0}}\\ \;\;\;\;\;\; 0=3x-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{\downarrow \text{pasa el dos al otro lado de la igualdad }\;\;\;\;|+2 }\\ \;\;\;\;\;\; 2=3x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Resuelve la igualdad}}\\ \;\;\;\;\;\; x=\dfrac{2}{3}\\ \\ \Longrightarrow \text{El punto cero en }x \text{ es: }x=\dfrac{2}{3}

Cálculo general

Si ponemos la forma general f(x)=m⋅x+tf(x)=m⋅x+t igual a 00, obtenemos ...

mx+t=0                  ↓resta t                   ∣−t            mx=−t                  ↓Resuelve la igualdad para x        ∣:m                        Esto solo funciona cuando m≠0           x=−tm⟹El punto cero en x es: x=−tmmx+t=0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{resta t }\;\;\;\;\;\;\;\;\; |-t}\\ \;\;\;\;\;\; mx=-t\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Resuelve la igualdad para }x \;\;\;\;|:m}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{\text{Esto solo funciona cuando } m \neq 0}\\ \;\;\;\;\;\ x=-\dfrac{t}{m}\\ \\ \Longrightarrow \text{El punto cero en }x \text{ es: }x=-\dfrac{t}{m}

Función cuadrática

Una función cuadrática suele tener la forma f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c.

Con f(x)=0f(x)=0 se obtiene la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, que puede resolverse mediante la fórmula de solución de las funciones cuadráticas (fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado) o el teorema de Vieta.

Ejemplo

Calcula y resuelve el punto cero de la función de f(x)=1x−1+1f(x)=\frac{1}{x-1}+1.

                      f(x)=1x−1+1                                          ↓Establece el teˊrmino de la funcioˊn igual a 0                              0=1x−1+1                                  ↓Resuelve la igualdad para x          ∣−1                          −1=1x−1                                  ↓Aquıˊ puedes multiplicar por (x−1)                                   puesto que 1∉Df                                   y asıˊ mismo (x−1)∉0                  ∣⋅(x−1)−1⋅(x−1)=1                                  ↓Resuelve              −x+1=1      ∣−1                          −x=0      ∣⋅(−1)                                x=0⟹El punto cero en x es: x=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)=\dfrac{1}{x-1}+1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Establece el término de la función igual a 0}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\dfrac{1}{x-1}+1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Resuelve la igualdad para }x \;\;\;\; \; |-1}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1=\dfrac{1}{x-1}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Aquí puedes multiplicar por }(x-1) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{ puesto que } 1 \notin D_f \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{ y así mismo }(x-1)\notin 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\; |\cdot(x-1)}\\ -1\cdot(x-1)=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{ \downarrow \text{Resuelve}}\\ \;\;\;\;\;\;\; -x+1=1 \;\;\; \textcolor{ff6600}{|-1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x=0\;\;\; \textcolor{ff6600}{|\cdot(-1)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x=0 \\ \\ \Longrightarrow \text{El punto cero en }x \text{ es: }x=0

Otras posibilidades para calcular el cero de una función

Encontrar los ceros por ensayo y error

Especialmente con ecuaciones con polinómios con enteros, a veces puede valer la pena simplemente insertar valores enteros bajos y calcular si sale el cero. Para facilitar la búsqueda, se suelen elegir ceros entre −3-3 y 33.

Polinomios superiores

No hay fórmulas de solución habituales para los polinomios superiores. Sin embargo, si ya se conocen los ceros (por ejemplo, adivinándolos), se puede simplificar el polinomio mediante la división polinómica, de modo que se puedan calcular más ceros con mayor facilidad (fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado).

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