¿Qué es una función?

Función

Una función es una asignación donde,

  • cada elemento xx de un conjunto XX (también llamado dominio)

  • evidentemente

  • asigna un elemento yy a un conjunto YY (también llamado contradominio).

El elemento y y es la variable dependiente, porque sus valores dependen del valor que le demos a la variable x x.

Una función es una dependencia entre dos magnitudes.

Nota: A menudo las funciones se designan con una sola letra. El nombre más común para una función es ff .

Con este nombre se puede aclarar fácilmente que yy es el valor de la función en la posición xx escribiendo y=f(x) y=f(x). Esto se lee como " yy es igual a ff de xx".

Ejemplos de Funciones

Ejemplo 1

Ejemplo 1

ff será la función que asigne a cada animal el número de patas que este tiene normalmente. ¿Por qué es ff una función?

Simplemente:

En este ejemplos los valores de las funciones pueden ser:

  • ff(gato) = 44 ("el valor de la función en la posición del gato 44")

  • ff(araña) = 88 ("ff en la posición de la araña es 8")

  • ff(hormiga) = 6 ("ff en la posición de la hormiga es 6")

  • ff(perro) = 4 ("ff en la posición del perro es 5")

¿Por qué es f f una función?

Muy simple:

  • ff tiene un rango de definición (el conjunto de todos los animales).

  • ff tiene un rango de valores (el conjunto N0\mathbb{N}_0 de todos los números naturales con el cero)

  • y el número de patas puede ser evidentemente asignado a cada animal.

Ejemplo 2

Pensemos por ejemplo en una persona que utiliza su celular para hacer una llamda, y por el tiempo conversado recibe una cuenta por un valor a pagar.

El costo de la llamada es una función del número de minutos hablados por el celular.

Decimos entonces, que el costo de la llamada g\textcolor{ff6600}{g} es una función del número de minutos x\textcolor{009999}{x}. Su notación matemática es:

o también

"g\textcolor{ff6600}{g} es igual a una función de x\textcolor{009999}{x}"

Decimos que x\textcolor{009999}{x} es la variable arbitraria o independiente, pues la duración de la llamada depende del capricho o las ganas de hablar de la persona.

persona hablando

Imagen 1.

Una función es una relación entre dos conjuntos, es decir, un subconjunto del producto cartesiano X×YX×Y , que cumple con las propiedades descritas arriba.

Ejemplo 2

Supongamos que la persona tienen un contrato de celular que le cobra 0,150{,}15€ por cada minuto hablado.

Así pues el costo de la llamada g\textcolor{ff6600}{g} vendría dado entonces por la expresión:

En cambio el costo de la llamada variará con el número de minutos conversados. Y depende de la cantidad de minutos. Así pues es la variante dependiente.

En este ejemplo, el rango de definición viene dado por los números naturales incluyendo el cero (N0\mathbb{N}_0). Según la definición del ejercicio, los minutos se redondean hacia arriba o hacia abajo.

El gráfico muestra evidentemente que cuanto más tiempo llames, más aumentan los costos.

Así, las funciones pueden mostrar bien las correlaciones.

Ejemplo 3

hh será la función que asigna el doble del valor de cada número natural.

Para cada número, esta asignación es evidente.

Ejemplos de valores de función:

  • h(1)=21=2h(1)=2⋅1=2 (el doble de 11 es 2))

  • h(3)=23=6h(3)=2⋅3=6

  • h(4)=8h(4)=8

  • h(7)=14h(7)=14

Otros tipos comunes de notación

Se utiliza un ejemplo para comparar las designaciones de uso frecuente.

Al principio está la regla de asignación, que define el nombre, la variable y el valor de la función:

Dado que los valores de la función se calculan muy a menudo con una fórmula, es decir, un término, este término suele especificarse en lugar de yy

Por ejemplo:

Así que esta función se llama ff. Con la función se asigna un valor yy a cada valor que se le da a xx, el cual se calcula utilizando el término de la función f(x)f(x). Los valores que se le dan a xx se seleccionan de la definición que tiene el conjunto de X, también llamado dominio y se denota por DfDf. Otros nombres comunes además de la ff son gg o con índice, por ejemplo f1f_1 o g3g_3.

Lo importante es poder identificar el término de la función. Para cada término, las variables de término se dan entre paréntesis. En la mayoría de los casos sólo aparece la variable xx. Así, el término de la función se denomina f(x)f(x) o g(xg(x) o f3(x)f_3(x), dependiendo del nombre que se le haya dado a la función.

Para el ejemplo de arriba se escribe:

Sobre la igualdad de la función: Hasta ahora, deciamos que a la xx según el término funcional f(x)f(x), se le asigna una yy claramente definida. Si se consideran estos valores como pares de valores (x,y)(x,y), entonces la yy puede ser calculada a partir de la xx con una ecuación:

Así que hay una ecuación con dos variables.

Por lo tanto, la igualdad entre dos expresions algebraicas puede considerar la regla de asignacion para resolver la ecuación.

Esto es importante cuando se introducen funciones en un sistema x-y de coordenadas a través de valores (x,y)(x,y). Este conjunto de puntos formado por los pares de valores se llama la gráfica de la función f f, se denota GfG_f. La gráfica es el conjunto de todos los puntos:

Importante: A menudo se utilizan otras letras para los nombres de las funciones y las variables. En la física, por ejemplo, t se utiliza como variable si tt es para describir el tiempo.

Si trabajas con varias funciones al mismo tiempo, puedes nombrar una como ff, otra como gg, otra como hh y así sucesivamente.

Algunos conceptos más avanzados

Las funciones también pueden tener propiedades especiales como:

Continuidad

Continuidad de la función

Una función ff es continua cuando los valores pares en su gráfica se pueden trazar sin levantar la punta del lápiz al dibujarla, es decir no tiene interrupciones.

Diferenciable

Image

La diferenciación de una función ff significa que el gráfico de la función tiene una tangente claramente definible en cada posición.

Periodo de la función

función periódica

En algunas funciones, los valores de la función se repiten en intervalos regulares. Si este es el caso, la longitud del segmento más corto se denomina período de la función.

Función inversa

Image

La función inversa de una función ff es la función f1f^-1, que asigna a cada valor de función su atributo:

f1(f(x))=x ademaˊs f(f1(x))=xf^−1(f(x))= x  \text{además} f(f^−1(x))=x

Fuentes:

Imagen 1: : pxhere.com, Creative Commons CC0


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