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4x2+3=x, ya que la ecuación se puede transformar en 4x2−x+3=0.
8x2=27 ya que la ecuación se puede transformar en 8x2−27=0
La mayoría de las veces se requiere encontrar la solución de una ecuación cuadrática. Lo mejor es reordenar la ecuación para que sólo 0 esté en un lado de la ecuación.
Cantidad de soluciones
Puedes averiguar la cantidad de soluciones de forma gráfica o por cálculo.
Gráficamente, puedes dibujar la función f(x)=ax2+bx+c y luego leer el número de ceros en la funcion. Lo siguiente se aplica a los ceros de una parábola:
Si la parábola está completamente por encima del eje x o completamente por debajo, entonces no hay solución.
Si el vértice de la parábola se encuentra en el eje x, entonces hay exactamente una solución.
Si la parábola pasa por el eje x (dos veces), entonces hay exactamente dos soluciones.
Puedes calcular la cantidad de soluciones calculando el discriminante:
D<0 : no hay solución
D=0 : exactamente una solución
D>0 : exactamente dos soluciones
Fórmulas de solución
Para saber cuál es la solución de la ecuación cuadrática, siempre puedes utilizar la fórmula cuadrática y la fórmula pq.
Este no es siempre el método más fácil, pero más sobre esto en la sección "Resolución inteligente de ecuaciones cuadráticas".
Fórmula cuadrática
Una técnica comúnmente utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas es la fórmula cuadrática.
Determina la solución de una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 utilizando la fórmula:
Puedes aplicar la fórmula pq a las ecuaciones cuadráticas de la forma x2+px+q=0 donde p,q∈R
La solución de la ecuación es entonces
¿Tienes un factor antes de x2?
No pasa nada, también puedes utilizar la fórmula pq.
Sin embargo, primero hay que dividir toda la ecuación por el factor previo.
Ejemplo:
Resuelve la igualdad 3x2−6x−9=0
Solución:
Como hay un factor de 3 antes de x2, primero hay que dividir toda la ecuación por 3, así:
3x2−6x−9=0∣divide por 3
x2−2−3=0
Ahora aplica la fórmula pq al término x2−2x−3.
Lee los valores p y q para ello:
p=−2,q=−3
⇒x1,2=−2p±(2p)2−q
=−2−2±(2−2)2−(−3)
=−1±1+3
=−1±4
=−1±2
⇒x1=1yx2=−3
Teorema de Vieta
El teorema de Vieta es un método de solución que permite adivinar los ceros de una función por ensayo y error. Por tanto, el método sólo es adecuado si las soluciones de la ecuación son sencillas. Sin embargo, también puede utilizar el método para comprobar rápidamente los ceros de la función calculados.
Según el teorema de Vieta, las soluciones x1 y x2 de una ecuación de la forma x2+px+q=0 cumplen las siguientes condiciones:
x1+x2=−p
x1⋅x2=q
Ejemplo:
Resuelve la igualdad x2−2x−3=0
Solución:
Lee los valores de p y q. Aquí p=−2 y q=−3.
Ahora busca los números x1 y x2 que satisfacen las siguientes ecuaciones:
x1+x2=−(−2)=2
x1⋅x2=−3
Si se consideran sólo números enteros, x1⋅x2=−3 sólo para
x1=3 y x2=−1 o
x1=−3 y x2=1
Prueba si uno de los pares (x1,x2) también cumple la primera condición:
x1=3 , x2=−1x1+x2=3−1=2✓
x1=−3 y x2=1x1+x2=−3+1=−2=2
Para x1=3 y x2=−1 se cumplen ambas condiciones. Así que las soluciones de la ecuación son x1=3 y x2=−1.
Nota: Soluciones como x1=1,2 y x2=15 difícilmente se pueden adivinar con este método. Para ello se necesitan otros métodos de solución.
Solución eficaz de ecuaciones cuadráticas
Dependiendo de su forma, las ecuaciones cuadráticas también pueden resolverse mucho más fácilmente que con la fórmula cuadrática o la fórmula pq. Aquí depende de la forma en que se encuentren.
Aquí se pueden distinguir o considerar las siguientes formas o expresiones:
Puedes reconocer rápidamente las ecuaciones en forma estándar por el hecho de que falta el sumando "con x". Las resuelves sacando la raíz.
Ten en cuenta que no hay solución cuando tomas la raíz de un número negativo. Con un número positivo, siempre hay exactamente dos soluciones: una de ellas es negativa y la otra positiva.
Ejemplo:
resuelve2x2−18=0
Solución:
2x2−18=0↓pasa el18al otro lado de la ecuacioˊn∣+182x2=18↓pasa el2al otro lado de la ecuacioˊn∣:2x2=9↓saca la raıˊzx1,2=±3
Producto cero
Un producto cero es un producto cuyo resultado es 0. Los productos cero son, por ejemplo, las siguientes ecuaciones:
x⋅(x−3)=0
(x−2)(x+7)=0
(−3)⋅(x+1)(x+1)=0
Si tu ecuación tiene esta forma o puede transformarse fácilmente en forma, puedes leer las soluciones de la ecuación.
Un producto es siempre cero si al menos uno de los factores es cero.
Ejemplo:
resuelve las igualdades:
a)(x−2)(x−7)=0
b) x2=4x
Solución para a:
Un producto es cero si uno de los factores es cero. Por tanto, deben ser x−2=0 o x+7=0 .
x−2=0⇒x=2
x+7=0⇒x=−7
Por tanto, la ecuación se cumple para x1=2 y x2=−7.
Solución para b:
Puedes transformar la ecuación en un producto cero:
x2=4x↓pasa el4xal otro lado de la ecuacioˊn∣−4xx2−4x=0↓factorizax⋅(x−4)=0
Por tanto da, x=0 o x−4=0.
Por tanto, las soluciones de la ecuación son x1=0 y x2=4.
Ecuaciones en forma del vértice
Lasecuaciones cuadráticas en forma de vértice también pueden transformarse en una ecuación cuadrática de forma estandar mixta con la ayuda de las fórmulas binomiales y luego resolverse como se ha descrito anteriormente. Sin embargo, la técnica de cálculo hacia atrás es mucho más fácil en este caso:
Ejemplo:
resuelve 3(x−1)2−12=0
Solución:
3⋅(x−1)2−12=0↓pasa el12al otro lado de la ecuacioˊn∣+123⋅(x−1)2=12↓divide por3∣:3(x−1)2=312
(x−1)2=4↓saca la raıˊzx−1=±4
x−1=±2;↓pasa el1al otro lado de la ecuacioˊn∣+1x=±2+1
