¿Qué es una función?

Nota: A menudo las funciones se designan con una sola letra. El nombre más común para una función es $f$ .

Con este nombre se puede aclarar fácilmente que $y$ es el valor de la función en la posición $x$ escribiendo $y=f(x)$. Esto se lee como " $y$ es igual a $f$ de $x$".

Ejemplos de Funciones

Ejemplo 1

En este ejemplos los valores de las funciones pueden ser:

• $f$(gato) = $4$ ("el valor de la función en la posición del gato $4$")

• $f$(araña) = $8$ ("$f$ en la posición de la araña es 8")

• $f$(hormiga) = 6 ("$f$ en la posición de la hormiga es 6")

• $f$(perro) = 4 ("$f$ en la posición del perro es 5")

¿Por qué es $f$ una función?

Muy simple:

• $f$ tiene un rango de definición (el conjunto de todos los animales).

• $f$ tiene un rango de valores (el conjunto $\mathbb{N}_0$ de todos los números naturales con el cero)

• y el número de patas puede ser evidentemente asignado a cada animal.

Ejemplo 2

Pensemos por ejemplo en una persona que utiliza su celular para hacer una llamda, y por el tiempo conversado recibe una cuenta por un valor a pagar.

Decimos entonces, que el costo de la llamada $\textcolor{ff6600}{g}$ es una función del número de minutos $\textcolor{009999}{x}$. Su notación matemática es:

o también

"$\textcolor{ff6600}{g}$ es igual a una función de $\textcolor{009999}{x}$"

Decimos que $\textcolor{009999}{x}$ es la variable arbitraria o independiente, pues la duración de la llamada depende del capricho o las ganas de hablar de la persona.

Imagen 1.

Una función es una relación entre dos conjuntos, es decir, un subconjunto del producto cartesiano $X×Y$ , que cumple con las propiedades descritas arriba.

Ejemplo 3

$h$ será la función que asigna el doble del valor de cada número natural.

Para cada número, esta asignación es evidente.

Ejemplos de valores de función:

• $h(1)=2⋅1=2$ (el doble de $1$ es 2$)$

• $h(3)=2⋅3=6$

• $h(4)=8$

• $h(7)=14$

Otros tipos comunes de notación

Se utiliza un ejemplo para comparar las designaciones de uso frecuente.

Al principio está la regla de asignación, que define el nombre, la variable y el valor de la función:

Dado que los valores de la función se calculan muy a menudo con una fórmula, es decir, un término, este término suele especificarse en lugar de $y$

Por ejemplo:

Así que esta función se llama $f$. Con la función se asigna un valor $y$ a cada valor que se le da a $x$, el cual se calcula utilizando el término de la función $f(x)$. Los valores que se le dan a $x$ se seleccionan de la definición que tiene el conjunto de X, también llamado dominio y se denota por $Df$. Otros nombres comunes además de la $f$ son $g$ o con índice, por ejemplo $f_1$ o $g_3$.

Lo importante es poder identificar el término de la función. Para cada término, las variables de término se dan entre paréntesis. En la mayoría de los casos sólo aparece la variable $x$. Así, el término de la función se denomina $f(x)$ o $g(x$) o $f_3(x)$, dependiendo del nombre que se le haya dado a la función.

Para el ejemplo de arriba se escribe:

Sobre la igualdad de la función: Hasta ahora, deciamos que a la $x$ según el término funcional $f(x)$, se le asigna una $y$ claramente definida. Si se consideran estos valores como pares de valores $(x,y)$, entonces la $y$ puede ser calculada a partir de la $x$ con una ecuación:

Así que hay una ecuación con dos variables.

Por lo tanto, la igualdad entre dos expresions algebraicas puede considerar la regla de asignacion para resolver la ecuación.

Esto es importante cuando se introducen funciones en un sistema x-y de coordenadas a través de valores $(x,y)$. Este conjunto de puntos formado por los pares de valores se llama la gráfica de la función $f$, se denota $G_f$. La gráfica es el conjunto de todos los puntos:

Importante: A menudo se utilizan otras letras para los nombres de las funciones y las variables. En la física, por ejemplo, t se utiliza como variable si $t$ es para describir el tiempo.

Si trabajas con varias funciones al mismo tiempo, puedes nombrar una como $f$, otra como $g$, otra como $h$ y así sucesivamente.

Algunos conceptos más avanzados

Las funciones también pueden tener propiedades especiales como:

Continuidad

Diferenciable

Periodo de la función

Función inversa

Fuentes:

Imagen 1: : pxhere.com, Creative Commons CC0