Ejercicios de aplicacón del arco capaz

Construye un triángulo ABC a partir del radio de la circunferencia $r=3cm;\alpha=50°;\beta=80°.$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teorema de Tales - Arco Capaz
El triángulo parcial $B C M$ es construible a partir de: $\;\;\overline {BM} = \overline{CM}=r\;\; BM=CM= \text{y} \sphericalangle{BMC}=\color{red}{2}\alpha$ .∢BMC=2α. (¡Aplicacion del Teorema de Tales - Arco Capaz!)
A continuación, a) en el tramo libre de $\beta$ en $B$ en $[B C$ y b) sobre la circunferencia $\text{k}(M;r)$
Descripción de la construcción:
Puedes seguir la construcción paso a paso en el applet con la barra de navegación (abajo).
Dibuja la recta [MB] con $\overline{MB}=r=3cm$ .
Introduce el ángulo $100 °$ en $M$ en $[M B$ .
El tramo aplicado interseca el círculo $\text{k}(M;3\,cm)$ en el punto $C$ .
Introduce el ángulo $80 °$ en $B$ en $[B C]$ .
El tramo aplicado interseca el círculo $\text{k}(M;3\,cm)$ en el punto $A$ .
El triángulo $A B C$ es el triángulo que buscamos.
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Plan:
El arte de la prueba
Supongamos que el punto $P$ se encuentra en la circunferencia de capaz de la cuerda [AB] de forma que la recta [PA] sea el diámetro.

Demuestra el teorema de Tales - Arco Capaz para esta posición de $P$ demostrando que se cumple:
$μ = 2 φ$ y $τ = φ$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Teorema de Tales - Arco Capaz
$\triangle BPM$ es isósceles ( $\overline{BM} = \overline{PM} = r$ )
$\sphericalangle{PBM} = \varphi$ (Ángulo de la base)
$\sphericalangle{BMP} = 180°- 2\varphi$ (Suma de ángulos en un triángulo)
$\mu + \sphericalangle {BMP}= 180°$ (Ángulo secundario) $\mu+\text{180°}-2\varphi=180°$
$\mu = 2\varphi$
$\triangle{ABM}$ es isósceles ( $\overline{AM} = \overline{BM} = r$ ) con ángulo en la base $\alpha$
Suma de los ángulos del triángulo ABM: $\alpha + \alpha+ 2\varphi =180°$ $\vert$ :2
$\;\;\;\;\;\;\;\,\alpha +\varphi = 90°$ $\vert$ $-\varphi%$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\alpha=90°-\varphi$
$90°+\alpha +\tau =180°$ (ángulo recto) $90°+90°-\varphi + \tau =180°$
$\tau = \varphi$
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Pista:

Puedes seguir los pasos individuales de la prueba utilizando la barra de navegación del applet dado.
Los puntos $A$ , $B$ , $C$ se encuentran en el semicírculo.
También se dan los ángulos $\alpha=45°$ y $\delta=75°$ .
Calcula los ángulos

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Suma de ángulos en un triángulo
$α + ε + μ = 180 °$
Esta ecuación sólo puede resolverse si conoces dos de los tres ángulos. Puedes encontrar el valor de $α$ en la especificación. $ε$ puede determinarse con la ayuda del ángulo secundario $δ$ .
$ε + δ = 180 °$
Resuelve para $\varepsilon$ e inserta el valor dado $75 °$ para $\delta$ .
$ε = 180 ° - 75 ° = 105 °$
Introduce el $\varepsilon$ en la primera ecuación y conviértelo en $μ \mu$ .
$μ = 180 ° - 105 ° - 45 ° = 30 °$
Teorema de Tales
Todavía hay que determinar los ángulos $\lambda$ y $\beta$ . Aplica el teorema de Tales y obtendrás la siguiente ecuación:
$μ + λ = 90 °$
Como ya has calculado $μ \mu$ , la ecuación puede convertirse en $\lambda$ y calcularse.
$λ = 90 ° - 30 ° = 60 °$
Por último, $\beta$ puede calcularse mediante la suma de ángulos interiores en el triángulo $\triangle BCD$ .
$λ + β + δ = 180 °$
Inserta los valores y obtendrás:
$β = 180 ° - 75 ° - 60 ° = 45 °$
Ahora has calculado todos los ángulos que había que calcular:
$β=45°\\ α=45°\\ δ=75° \\λ=60° \\ μ=30° \\ ϵ=105°$
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Considera primero el triángulo $△ A C D$ . Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre $180 º$ , puedes hacer la siguiente ecuación:

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Teorema de Tales

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