Simplificación de términos con paréntesis

Muchos términos contienen paréntesis. En este artículo aprenderás a simplificar estos términos y a poner tú mismo los paréntesis.

Disolver los paréntesis

Paréntesis para sumas o restas

Puedes resolver paréntesis para sumas utilizando la ley asociativa.

$x + (y + 3) = x + y + 3$

Con una resta, es decir, con un menos delante del paréntesis, ¡todos los signos del paréntesis se invierten!

$x \textcolor{ff6600}{−(y+3)}\textcolor{ff6600}{=x−y−3}$

Ejemplo:

$2 + x - (y + x - 4) =$		¡Primero disuelve el paréntesis! Presta atención al signo negativo delante del paréntesis
$2 + x - y - x + 4 =$		Ordena el término de forma que las mismas variables estén una al lado de la otra.
$2 + 4 + x - x - y =$		Simplifica el término.
$6 - y$

Paréntesis para las multiplicaciones

Los paréntesis pueden aparecer de varias maneras en un producto. O bien, hay un factor que se multiplica por un paréntesis:

$a \cdot (b \cdot c) a⋅(b⋅c)$ ó $a\cdot(x+y)$

o dos paréntesis se multiplican juntos:

$(x + y) \cdot (a + b) (x+y)⋅(a+b)$

Tienes el caso más sencillo con: $a \cdot (b \cdot c) a⋅(b⋅c)$

Ahí la ley asociativa vuelve a ser válida, puedes (bajo consideración de los signos) simplemente omitir el paréntesis.

$a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c a⋅(b⋅c)=a⋅b⋅c$

Ejemplo

$3 x \cdot (4 \cdot 7 x) = 3x⋅(4⋅7x)=$		Dada la ley asociativa, puedes omitir los paréntesis.
$3 x \cdot 4 \cdot 7 x = 3x⋅4⋅7x=$		Ordena el término de forma que las mismas variables estén una al lado de la otra.
$3 x \cdot 7 x \cdot 4 = 3x⋅7x⋅4=$		Multiplica cada factor de izquierda a derecha.
$21 x^{2} \cdot 4 = 21x^2⋅4=$
$84 x^{2}$

Multiplica

Si sólo hay un factor delante de un paréntesis que contiene una suma o una diferencia, la simplificación se llama "multiplicar hacia fuera". Se aplica la ley distributiva.

Ejemplo

$2 x y - 4 x \cdot (y + 3 x - 2) = 2xy−4x⋅(y+3x−2)=$		Multiplica el paréntesis por el factor -4x. ¡Presta especial atención al signo menos delante del factor!
$2 x y - 4 x \cdot y + (- 4 x) \cdot 3 x - (- 4 x) \cdot 2 2xy−4x⋅y+(−4x)⋅3x−(−4x)⋅2$
$2 x y - 4 x y - 12 x^{2} + 8 x =$		Ahora suma los dos primeros sumandos.
$- 2 x y - 12 x^{2} + 8 x$		No se puede simplificar más este término

Multiplica los paréntesis entre sí

Si quieres multiplicar dos paréntesis que contengan sumas o diferencias, tienes que hacerlo componente por componente. ¡Presta especial atención al signo!

Ejemplo

¡Simplifica el término lo que más puedas!

$(2 x + y) \cdot (3 y - 7 x) = (2x+y)⋅(3y−7x)=$		Multiplica los paréntesis componente por componente, como se indica arriba.
$2 x \cdot 3 y + 2 x \cdot (- 7 x) + y \cdot 3 y + y \cdot (- 7 x) = 2x⋅3y+2x⋅(−7x)+y⋅3y+y⋅(−7x)=$		Ahora simplifica los sumandos individuales, ¡prestando atención a los signos!
$6 x y - 14 x^{2} + 3 y^{2} - 7 x y =$		Ordena el término de forma que las variables iguales estén una al lado de la otra.
$6 x y - 7 x y - 14 x^{2} + 3 y^{2} =$		Ahora simplifica el término al máximo.
$- x y - 14 x^{2} + 3 y^{2}$		Este término no puede simplificarse más.

Colocar paréntesis

El uso del paréntesis

El uso del paréntesis es una operación que permite simplificar y organizar los términos.

Así que tienes un término en el que hay factores iguales en cada uno de los sumandos:

$a x + a y =$

Aquí puedes usar parétesis para con el factor $a$ :

$a \cdot (x + y) a⋅(x+y)$

Ejemplo

Simplifica el término.

$2 x y + 4 x - 6 x^{2} y =$		Identifica cómo simplificar usando el factor $2 x$ .
$2 x \cdot y + 2 x \cdot 2 - 2 x \cdot 3 x y = 2x⋅y+2x⋅2−2x⋅3xy=$		Aquí el factor $2 x$ aparece en cada sumando.
$2 x \cdot (y + 2 - 3 x y) 2x⋅(y+2−3xy)$		Utiliza el paréntesis.
		Eso es lo máximo que puedes simplificar este término.

También puedes simplificar sólo partes del término de esta manera, pero, por supuesto, ¡hay que tener en cuenta el orden de las operaciones (el punto antes que raya)!

$a x + 3 a y + x y = a (x + 3 y) + x y$

El uso del paréntesis con fracciones

Poner entre paréntesis los términos de las fracciones es especialmente importante, ya que te permite simplificarlos.

Ejemplo:

$\dfrac{2xy+4x−6x^2y}{4xy-8x-4x^3}=$		Aquí puedes usar el paréntesis con $2 x$ en el numerador y $4 x$ en el denominador:
$\dfrac{2x\cdot(y+2−3xy)}{4x\cdot(y-2-x^2)}=$		Ahora puedes reducir $2 x$ en la fracción. Obtienes:
$\dfrac{y+2−3xy}{2\cdot(y-2-x^2)}=$		Eso es lo máximo que puedes simplificar esta fracción, pues el numerador y el denominador ya no tienen divisores comunes.

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