Términos de fracción

Determinar el dominio de una función

Antes de empezar a calcular con términos de fracciones, debe determinar su dominio (o conjunto de definición), ya que éste puede cambiar a lo largo de sus cálculos.

Como ya sabes, está prohibido dividir por el número $0$. Por lo tanto, debes examinar para qué números el denominador de tu fracción se convierte en $0$. Estos números se excluyen del dominio.

Ejemplo

Por ejemplo, considera el término $T(x)={\displaystyle \frac{10}{x-5}}$. Como la variable buscada $x$ se encuentra en el denominador de la fracción, este término es un término de fracción.

El denominador de este término toma el valor 0 para $x=5$. Este valor es, por tanto, la brecha en la definición de este término de fracción. En consecuencia, el conjunto de definiciones es $𝔻=\mathbb{Q}\setminus \left\{5\right\}$.

Ampliar la fracción

Puedes ampliar los términos de las fracciones del mismo modo que las fracciones, es decir, puedes ampliar los términos de las fracciones no sólo con números, sino también con términos.

Atención con el dominio

Si amplías un término de fracción con otro término, puede producirse una nueva brecha de definición. Esto ocurre cuando amplias un término que tiene un cero en el dominio.

Ejemplo

Considera el término de la fracción ${\displaystyle \frac{3}{x}}$. El dominio de este término de la fracción es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}$.

Ahora amplía el término de la fracción con $x-1$.

El término de la fracción ${\displaystyle \frac{3\cdot (x-1)}{x\cdot (x-1)}}$tiene el dominio $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{\mathrm{0,1}\right\}$ ya que no se puede insertar ni $0$ ni $1$ en el denominador, porque si no el denominador sería $0$.

Reduccir una fracción

Puedes reducir los términos de las fracciones del mismo modo que las fracciones, aunque aquí puedes reducir no sólo con números sino también con términos.

Atención con el dominio

Si reduces un término de una fracción, puede producirse una nueva brecha de definición. Por lo tanto, es importante determinar el dominio al principio y mantenerlo.

Ejemplo

Considera el término de la fracción:

${\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+2)}{x\cdot (x+1)}}$

El dominio de este término de fracción $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}$

Ahora reduces $(x+1)$:

${\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+2)}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{(x+2)}{x}}$

Aquí el denominador $(x+1)\cdot (x+2)$ y el numerador $x\cdot (x+1)$ se dividieron por $(x+1)$.

Si ahora se determinara el dominio a partir de $\frac{x+2}{x}$, entonces sería $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}$. Sin embargo, el dominio se mantiene desde antes de reducir la fracción y es, por tanto, $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}$.

Adición y sustracción

Ejemplo

Considera los dos términos de la fracción $\frac{3}{x}$ y $\frac{5}{x+1}$. La suma de estos dos términos de la fracción es:

${\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{5}{x+1}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}}+{\displaystyle \frac{5\cdot x}{(x+1)\cdot x}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)+5\cdot x}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{8\cdot x+3}{x\cdot (x+1)}}$

Si restas los dos términos de la fracción, obtienes

${\displaystyle \frac{3}{x}}-{\displaystyle \frac{5}{x+1}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}}-{\displaystyle \frac{5\cdot x}{(x+1)\cdot x}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)-5\cdot x}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{3-2\cdot x}{x\cdot (x+1)}}$

Multiplicación

Atención con el dominio

Si multiplicas dos términos de fracción, debes determinar los dominios de los dos términos de fracción individualmente. Entonces tomas la combinación como el dominio. También puedes tomar las brechas en la definición de ambas fracciones juntas, porque son las la brecha en la definición del producto.

Ejemplo

Tienes los dos términos de la fracción $\frac{8}{x}$ y $\frac{2}{x+1}$.

El dominio de $\frac{8}{x}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}$.

El dominio de $\frac{2}{x+1}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \{-1\}$.

Luego su producto:

${\displaystyle \frac{8}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{x+1}}={\displaystyle \frac{8\cdot 2}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{16}{x\cdot (x+1)}}$ con el dominio $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}$

Divición

Atención con el dominio

Si divides la primera fracción entre la segunda fracción, tienes que sumar la brecha en la definición de la primera fracción, la segunda fracción y el recíproco de la segunda fracción. Esto te da la brecha en la definición del resultado.

Ejemplo

Tienes los dos términos de la fracción $\frac{x}{x-5}$ y $\frac{x}{x+1}$.

Observa la división:

${\displaystyle \frac{x}{x-5}}:{\displaystyle \frac{x}{x+1}}$

El dominio de $\frac{x}{x-5}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{5\right\}$.

El dominio de $\frac{x}{x+1}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \{-1\}$.

El dominio de $\frac{x+1}{x}$, la fracción invertida $\frac{x}{x+1}$ , es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}$.

En consecuencia, el dominio de

${\displaystyle \frac{x}{x-5}}:{\displaystyle \frac{x}{x+1}}={\displaystyle \frac{x}{x-5}}\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x}}={\displaystyle \frac{x+1}{x-5}}$

viene dado por $D=\mathbb{Q}\setminus \{-\mathrm{1,0,5}\}$