Términos de fracción

Determinar el dominio de una función

Antes de empezar a calcular con términos de fracciones, debe determinar su dominio (o conjunto de definición), ya que éste puede cambiar a lo largo de sus cálculos.

Como ya sabes, está prohibido dividir por el número $00$. Por lo tanto, debes examinar para qué números el denominador de tu fracción se convierte en $00$. Estos números se excluyen del dominio.

Ejemplo

Por ejemplo, considera el término $T(x)={\displaystyle \frac{10}{x-5}}T(x)=\backslash dfrac\{10\}\{x-5\}$. Como la variable buscada $xx$ se encuentra en el denominador de la fracción, este término es un término de fracción.

El denominador de este término toma el valor 0 para $x=5x=5$. Este valor es, por tanto, la brecha en la definición de este término de fracción. En consecuencia, el conjunto de definiciones es $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus \left\{5\right\}\backslash mathbb\{D\}=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{5\; \backslash right\backslash \}$.

Ampliar la fracción

Puedes ampliar los términos de las fracciones del mismo modo que las fracciones, es decir, puedes ampliar los términos de las fracciones no sólo con números, sino también con términos.

Atención con el dominio

Si amplías un término de fracción con otro término, puede producirse una nueva brecha de definición. Esto ocurre cuando amplias un término que tiene un cero en el dominio.

Ejemplo

Considera el término de la fracción ${\displaystyle \frac{3}{x}}\backslash dfrac\{3\}\{x\}$. El dominio de este término de la fracción es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}D=\backslash mathbb\{Q\}\; \backslash setminus\backslash left\backslash \{0\; \backslash right\backslash \}$.

Ahora amplía el término de la fracción con $x-1x-1$.

El término de la fracción ${\displaystyle \frac{3\cdot (x-1)}{x\cdot (x-1)}}\backslash dfrac\{3\backslash cdot\; (x-1)\}\{x\backslash cdot\; (x-1)\}$tiene el dominio $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{\mathrm{0,1}\right\}D=\backslash mathbb\{Q\}\; \backslash setminus\backslash left\backslash \{0\{,\}1\; \backslash right\backslash \}$ ya que no se puede insertar ni $00$ ni $11$ en el denominador, porque si no el denominador sería $00$.

Reduccir una fracción

Puedes reducir los términos de las fracciones del mismo modo que las fracciones, aunque aquí puedes reducir no sólo con números sino también con términos.

Atención con el dominio

Si reduces un término de una fracción, puede producirse una nueva brecha de definición. Por lo tanto, es importante determinar el dominio al principio y mantenerlo.

Ejemplo

Considera el término de la fracción:

${\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+2)}{x\cdot (x+1)}}\backslash dfrac\{(x+1)\backslash cdot(x+2)\}\{x\backslash cdot(x+1)\}$

El dominio de este término de fracción $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\; \backslash setminus\backslash left\backslash \{0,-1\; \backslash right\backslash \}$

Ahora reduces $(x+1)(x+1)$:

${\displaystyle \frac{(x+1)\cdot (x+2)}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{(x+2)}{x}}\backslash dfrac\{(x+1)\backslash cdot(x+2)\}\{x\backslash cdot(x+1)\}=\backslash dfrac\{(x+2)\}\{x\}$

Aquí el denominador $(x+1)\cdot (x+2)(x+1)\cdot (x+2)$ y el numerador $x\cdot (x+1)x\backslash cdot(x+1)$ se dividieron por $(x+1)(x+1)$.

Si ahora se determinara el dominio a partir de $\frac{x+2}{x}\backslash frac\{x+2\}\{x\}$, entonces sería $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{0\; \backslash right\backslash \}$. Sin embargo, el dominio se mantiene desde antes de reducir la fracción y es, por tanto, $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{0,-1\; \backslash right\backslash \}$.

Adición y sustracción

Ejemplo

Considera los dos términos de la fracción $\frac{3}{x}\backslash frac\{3\}\{x\}$ y $\frac{5}{x+1}\backslash frac\{5\}\{x+1\}$. La suma de estos dos términos de la fracción es:

${\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{5}{x+1}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}}+{\displaystyle \frac{5\cdot x}{(x+1)\cdot x}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)+5\cdot x}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{8\cdot x+3}{x\cdot (x+1)}}\backslash dfrac\{3\}\{x\}+\backslash dfrac\{5\}\{x+1\}=\backslash dfrac\{3\backslash cdot(x+1)\}\{x\backslash cdot(x+1)\}+\backslash dfrac\{5\backslash cdot\; x\}\{(x+1)\backslash cdot\; x\}=\backslash dfrac\{3\backslash cdot(x+1)+5\backslash cdot\; x\}\{x\; \backslash cdot(x+1)\}=\backslash dfrac\{8\backslash cdot\; x+3\}\{x\; \backslash cdot\; (x+1)\}$

Si restas los dos términos de la fracción, obtienes

${\displaystyle \frac{3}{x}}-{\displaystyle \frac{5}{x+1}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)}{x\cdot (x+1)}}-{\displaystyle \frac{5\cdot x}{(x+1)\cdot x}}={\displaystyle \frac{3\cdot (x+1)-5\cdot x}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{3-2\cdot x}{x\cdot (x+1)}}\backslash dfrac\{3\}\{x\}-\backslash dfrac\{5\}\{x+1\}=\backslash dfrac\{3\backslash cdot(x+1)\}\{x\backslash cdot(x+1)\}-\backslash dfrac\{5\backslash cdot\; x\}\{(x+1)\backslash cdot\; x\}=\backslash dfrac\{3\backslash cdot(x+1)-5\backslash cdot\; x\}\{x\; \backslash cdot(x+1)\}=\backslash dfrac\{3-2\backslash cdot\; x\}\{x\; \backslash cdot\; (x+1)\}$

Multiplicación

Atención con el dominio

Si multiplicas dos términos de fracción, debes determinar los dominios de los dos términos de fracción individualmente. Entonces tomas la combinación como el dominio. También puedes tomar las brechas en la definición de ambas fracciones juntas, porque son las la brecha en la definición del producto.

Ejemplo

Tienes los dos términos de la fracción $\frac{8}{x}\backslash frac\{8\}\{x\}$ y $\frac{2}{x+1}\backslash frac\{2\}\{x+1\}$.

El dominio de $\frac{8}{x}\backslash frac\{8\}\{x\}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{0\; \backslash right\backslash \}$.

El dominio de $\frac{2}{x+1}\backslash frac\{2\}\{x+1\}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \{-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{-1\; \backslash right\backslash \}$.

Luego su producto:

${\displaystyle \frac{8}{x}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{x+1}}={\displaystyle \frac{8\cdot 2}{x\cdot (x+1)}}={\displaystyle \frac{16}{x\cdot (x+1)}}\backslash dfrac\{8\}\{x\}\backslash cdot\backslash dfrac\{2\}\{x+1\}=\backslash dfrac\{8\backslash cdot2\}\{x\backslash cdot(x+1)\}=\backslash dfrac\{16\}\{x\backslash cdot(x+1)\}$ con el dominio $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{0,-1\; \backslash right\backslash \}$

Divición

Atención con el dominio

Si divides la primera fracción entre la segunda fracción, tienes que sumar la brecha en la definición de la primera fracción, la segunda fracción y el recíproco de la segunda fracción. Esto te da la brecha en la definición del resultado.

Ejemplo

Tienes los dos términos de la fracción $\frac{x}{x-5}\backslash frac\{x\}\{x-5\}$ y $\frac{x}{x+1}\backslash frac\{x\}\{x+1\}$.

Observa la división:

${\displaystyle \frac{x}{x-5}}:{\displaystyle \frac{x}{x+1}}\backslash dfrac\{x\}\{x-5\}:\backslash dfrac\{x\}\{x+1\}$

El dominio de $\frac{x}{x-5}\backslash frac\{x\}\{x-5\}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{5\right\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{5\; \backslash right\backslash \}$.

El dominio de $\frac{x}{x+1}\backslash frac\{x\}\{x+1\}$ es $D=\mathbb{Q}\setminus \{-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{-1\; \backslash right\backslash \}$.

El dominio de $\frac{x+1}{x}\backslash frac\{x+1\}\{x\}$, la fracción invertida $\frac{x}{x+1}\backslash frac\{x\}\{x+1\}$ , es $D=\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{0\; \backslash right\backslash \}$.

En consecuencia, el dominio de

${\displaystyle \frac{x}{x-5}}:{\displaystyle \frac{x}{x+1}}={\displaystyle \frac{x}{x-5}}\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x}}={\displaystyle \frac{x+1}{x-5}}\backslash dfrac\{x\}\{x-5\}:\backslash dfrac\{x\}\{x+1\}=\backslash dfrac\{x\}\{x-5\}\backslash cdot\backslash dfrac\{x+1\}\{x\}=\backslash dfrac\{x+1\}\{x-5\}$

viene dado por $D=\mathbb{Q}\setminus \{-\mathrm{1,0},5\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{-1\{,\}0,5\; \backslash right\backslash \}$