Transformaciones equivalentes

Mantén la balanza equilibrada

Las transformaciones equivalentes válidas mantienen la balanza en equilibrio en todo momento, por lo que la ecuación sigue siendo cierta.

Ejercicio: Primero intenta manipular tú mismo la balanza para que permanezca en equilibrio, pero puedes determinar el peso de $x$ antes de seguir leyendo.

Por tanto, las transformaciones equivalentes válidas, en las que la balanza simbólica permanece en equilibrio, son:

• Sumar y restar el mismo término en ambos lados de la ecuación.

• multiplicar y dividir por el mismo número (excepto 0) en ambos lados de la ecuación

• transformaciones de términos válidas en uno de los dos lados de la ecuación (multiplicación, suma,...)

Precaución con las siguientes transformaciones

Dividir / Multiplicar

En este caso, hay que tener cuidado de no tomar cero ni dividir por cero.

En la imagen de la balanza, multiplicar por cero correspondería a la instrucción "quitar todo lo que hay en ambos lados de la balanza".

Elevar al cuadrado

Elevar al cuadrado ambos lados puede hacer que las ecuaciones falsas se conviertan en verdaderas, o que el conjunto de soluciones aumente.

Así, la ecuación falsa $-1=1$ se convierte en verdadera al elevar al cuadrado. La ecuación $x=-1$ , que tiene una sola solución en $ℝ$, obtiene una segunda solución al elevar al cuadrado: $x^2=1$ es verdadera para $x=-1$ y $x=1$.

Aplicar la función en ambos lados

El problema que surge con elevar al cuadrado también se da en general con muchas otras funciones. Para que una función pueda utilizarse (sin restricciones) , se debe poder invertir, como por ejemplo la función exponencial y la función logarítmica.

Resolver por una variable

La mayoría de las veces, el problema consiste en determinar el valor de una variable para la que la ecuación sea correcta. Para ello, intenta transformar la ecuación mediante las transformaciones anteriores, de modo que la variable a determinar esté en blanco en el lado izquierdo y no en el derecho.

Ejemplo

$3x+6=0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{|} -6 \\ \;\; \\ 3x+6-6=-6 \\ \;\; \\ 3x=-6 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{ff6600}{|}:3 \\ \;\; \\x=\dfrac{-6}{3} \\ \;\; \\ x=-2$

La línea vertical naranja junto a la ecuación se llama "línea de mando" o "línea de transformación". En la primera línea, por ejemplo, significa que se resta 6 en ambos lados de la ecuación.

Revisa

Para comprobar el resultado, basta con sustituir el resultado (en este caso $x=-2$) en la ecuación inicial.

$3x+6=0 \\ 3\cdot(-2)+6=0 \\ 0=0$

$\Rightarrow$ La afirmación es verdadera