Contenido del curso

En este curso aprenderás a calcular la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. Entre otras cosas, se introducen términos como el producto escalar. Además, se aborda el cálculo del área de un triángulo con la ayuda de determinantes.

Conocimientos previos (en construcción)

• Deberías haber entendido la definición de vector. Para repetirlo, puedes echar un vistazo al curso Introducción al concepto de vector (Vectores en el plano I).

• Deberías ser capaz de calcular con vectores. Esto se trata en el curso Cálculo con vectores (Vectores en el plano II).

• Puedes entender mejor el curso si ya conoces el teorema de Pitágoras.

Duración del curso

aprox. 3 horas

El producto escalar es una especie de "multiplicación" de vectores cuyo resultado es un número real. Se escribe $\vec{a}\circ \vec{b}\mathrm{.}\backslash vec\{a\}\backslash circ\backslash vec\{b\}.$

Se determina de la siguiente manera:

Dados dos vectores:

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; a=\backslash begin\{pmatrix\}a\_1\backslash \backslash a\_2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash \backslash$y

$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\; b=\backslash begin\{pmatrix\}b\_1\backslash \backslash b\_2\backslash end\{pmatrix\}$

Entonces

$\vec{a}\circ \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2\backslash ,\backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; b\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}a\_1\backslash \backslash a\_2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}b\_1\backslash \backslash b\_2\backslash end\{pmatrix\}\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; b\_1\; +\; a\_2\; \backslash cdot\; b\_2$

Ortogonalidad

Un vector $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ es ortogonal a un vector $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ si los dos vectores son perpendiculares entre sí, lo que se puede comprobar mediante el producto escalar de ambos vectores.

Si es igual a cero, entonces $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ y $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ son ortogonales entre sí. Es decir:

$\vec{a}\perp \vec{b}\iff \vec{a}\circ \vec{b}=0\backslash vec\; a\backslash perp\backslash vec\; b\backslash ;\backslash ;\backslash Leftrightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; b=0$

(Cuando, $\vec{a}\mathrm{\ne }0\backslash vec\{a\}\backslash ne0$ y $\vec{b}\mathrm{\ne }0\backslash vec\; b\backslash neq0$)

Nota: No es importante que los vectores tengan un punto de pie común, porque puedes tomar simplemente sus representantes, que tienen sus puntos de pie en el origen (vectores de localización).

Por supuesto, nada cambia en el resultado del producto escalar, y mucho menos en el propio vector.

El cálculo del ángulo entre $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ y $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ es el siguiente:

respectivamente

Aquí el "∘" representa el producto escalar.

"$co{s}^{-1}cos^\{-1\}$" es la función coseno inversa: el arco coseno. Esto significa, en particular, que $co{s}^{-1}(cos(\phi ))=\phi cos^\{-1\}(cos(\backslash textcolor\{009999\}\{\phi \}))=\backslash textcolor\{009999\}\{\phi \}$

El ángulo mayor se puede calcular así:

${\phi }^{\mathrm{\prime }}={360}^{\circ }-\phi \backslash textcolor\{\#ff6600\}\; \{\backslash varphi\text{'}\}\; =\; 360^\backslash circ\; -\; \backslash color\{\#009999\}\; \backslash varphi$