Ejercicios de aplicacón del arco capaz

Descripción de la construcción:

Puedes seguir la construcción paso a paso en el applet con la barra de navegación (abajo).

• Dibuja la recta [MB] con $\overline{MB}=r=3cm\backslash overline\{MB\}=r=3cm$.

• Introduce el ángulo $100\mathrm{°}100°$ en $MM$ en $[MB[MB$.

• El tramo aplicado interseca el círculo $\text{k}(M;3cm)\backslash text\{k\}(M;3\backslash ,cm)$ en el punto $CC$.

• Introduce el ángulo $80\mathrm{°}80°$ en $BB$ en $[BC][BC]$.

• El tramo aplicado interseca el círculo $\text{k}(M;3cm)\backslash text\{k\}(M;3\backslash ,cm)$ en el punto $AA$.

• El triángulo $ABCABC$ es el triángulo que buscamos.

• $\mathrm{△}BPM\backslash triangle\; BPM$ es isósceles ($\overline{BM}=\overline{PM}=r\backslash overline\{BM\}\; =\; \backslash overline\{PM\}\; =\; r$)

1. $\mathrm{\sphericalangle }PBM=\phi \backslash sphericalangle\{PBM\}\; =\; \backslash varphi$ (Ángulo de la base)

2. $\mathrm{\sphericalangle }BMP=180\mathrm{°}-2\phi \backslash sphericalangle\{BMP\}\; =\; 180°-\; 2\backslash varphi$ (Suma de ángulos en un triángulo)

3. $\mu +\mathrm{\sphericalangle }BMP=180\mathrm{°}\backslash mu\; +\; \backslash sphericalangle\; \{BMP\}=\; 180°$ (Ángulo secundario) $\mu +\text{180°}-2\phi =180\mathrm{°}\backslash mu+\backslash text\{180°\}-2\backslash varphi=180°$

4. $\mu =2\phi \backslash mu\; =\; 2\backslash varphi$

5. $\mathrm{△}ABM\backslash triangle\{ABM\}$ es isósceles ($\overline{AM}=\overline{BM}=r\backslash overline\{AM\}\; =\; \backslash overline\{BM\}\; =\; r$) con ángulo en la base $\alpha \backslash alpha$

6. Suma de los ángulos del triángulo ABM:$\alpha +\alpha +2\phi =180\mathrm{°}\backslash alpha\; +\; \backslash alpha+\; 2\backslash varphi\; =180°$ $\mathrm{\mid }\backslash vert$:2

$\alpha +\phi =90\mathrm{°}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ,\backslash alpha\; +\backslash varphi\; =\; 90°$ $\mathrm{\mid }\backslash vert$ $-\phi -\backslash varphi\%$

$\alpha =90\mathrm{°}-\phi \backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ,\backslash ;\backslash alpha=90°-\backslash varphi$

• $90\mathrm{°}+\alpha +\tau =180\mathrm{°}90°+\backslash alpha\; +\backslash tau\; =180°$ (ángulo recto) $90\mathrm{°}+90\mathrm{°}-\phi +\tau =180\mathrm{°}90°+90°-\backslash varphi\; +\; \backslash tau\; =180°$

1. $\tau =\phi \backslash tau\; =\; \backslash varphi$

$\alpha +\epsilon +\mu =180\mathrm{°}\alpha +\epsilon +\mu =180°$

Esta ecuación sólo puede resolverse si conoces dos de los tres ángulos. Puedes encontrar el valor de $\alpha \alpha$ en la especificación. $\epsilon \epsilon$ puede determinarse con la ayuda del ángulo secundario $\delta \delta$.

$\epsilon +\delta =180\mathrm{°}\epsilon +\delta =180°$

Resuelve para $\epsilon \backslash varepsilon$ e inserta el valor dado $75\mathrm{°}75°$ para $\delta \backslash delta$.

$\epsilon =180\mathrm{°}-75\mathrm{°}=105\mathrm{°}\epsilon =180°-75°=105°$

Introduce el $\epsilon \backslash varepsilon$ en la primera ecuación y conviértelo en $\mu \backslash mu$.

$\mu =180\mathrm{°}-105\mathrm{°}-45\mathrm{°}=30\mathrm{°}\mu =180°-105°-45°=30°$

Teorema de Tales

Todavía hay que determinar los ángulos $\lambda \backslash lambda$ y $\beta \backslash beta$. Aplica el teorema de Tales y obtendrás la siguiente ecuación:

$\mu +\lambda =90\mathrm{°}\mu +\lambda =90°$

Como ya has calculado $\mu \backslash mu$, la ecuación puede convertirse en $\lambda \backslash lambda$ y calcularse.

$\lambda =90\mathrm{°}-30\mathrm{°}=60\mathrm{°}\lambda =90°-30°=60°$

Por último, $\beta \backslash beta$ puede calcularse mediante la suma de ángulos interiores en el triángulo $\mathrm{△}BCD\backslash triangle\; BCD$.

$\lambda +\beta +\delta =180\mathrm{°}\lambda +\beta +\delta =180°$

Inserta los valores y obtendrás:

$\beta =180\mathrm{°}-75\mathrm{°}-60\mathrm{°}=45\mathrm{°}\beta =180°-75°-60°=45°$

Ahora has calculado todos los ángulos que había que calcular:

$\beta =45\mathrm{°}\alpha =45\mathrm{°}\delta =75\mathrm{°}\lambda =60\mathrm{°}\mu =30\mathrm{°}ϵ=105\mathrm{°}\beta =45°\backslash \backslash \; \alpha =45°\backslash \backslash \; \delta =75°\; \backslash \backslash \lambda =60°\; \backslash \backslash \; \mu =30°\; \backslash \backslash \; ϵ=105°$