Teorema de Tales

Empieza con una recta cualquiera (aquí: [AB]).

Construye ahora una circunferencia de Tales (aquí con centro $MM$).

Ahora puedes marcar cualquier punto en el arco (aquí el punto $CC$).

Ahora une los puntos $AA$, $BB$ y $CC$ para formar un triángulo.

El ángulo $\mathrm{\sphericalangle }ACB\backslash sphericalangle\; ACB$ es un ángulo recto.

Puedes mover el punto (aquí: punto $CC$) en la ilustración gráfica (applet) de la derecha como quieras y hacer lo mismo con él cada vez para comprobar la afirmación.

Primero dibuja un triángulo $\mathrm{△}ABC\backslash triangle\; ABC$ con la hipotenusa como el diámetro de una circunferencia y el tercer punto del triángulo en el arco de la circunferencia (aquí: punto $CC$).

Además, introduce la línea bisectriz $hh$ de la hipotenusa. Esto crea dos nuevos triángulos:

$\mathrm{△}AMC\backslash triangle\; AMC$ y $\mathrm{△}MCB\backslash triangle\; MCB$

Ahora bien, ya se sabe que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180\mathrm{°}180°$.

Tanto en el triángulo $\mathrm{△}ABC\backslash triangle\; ABC$ como en los triángulos $\mathrm{△}AMC\backslash triangle\; AMC$ y $\mathrm{△}MBC\mathrm{.}\backslash triangle\; MBC.$

Por lo tanto:

$\alpha +\beta +(\gamma 1\text{}+\gamma 2\text{})=180\mathrm{°}\alpha +\beta +(\gamma 1+\gamma 2)=180°$

Además:

$\epsilon +\delta =180\mathrm{°}\epsilon +\delta =180°$

Los triángulos $\mathrm{△}AMC\backslash triangle\; AMC$ y $\mathrm{△}MBC\backslash triangle\; MBC$ son isósceles porque $p=q=h=\text{Radio del arco capaz}p=q=h=\backslash text\{Radio\; del\; arco\; capaz\}$.

Por lo tanto:

$\gamma 2\text{}=\beta \gamma 2=\beta$

$\alpha =\gamma 1\text{}\alpha =\gamma 1$

Así es como se obtiene:

$\alpha +\beta +(\gamma 1\text{}+\gamma 2\text{})=180\mathrm{°}\alpha +\beta +(\gamma 1+\gamma 2)=180°$

$\Rightarrow 2\cdot (\gamma 1\text{}+\gamma 2\text{})=180\mathrm{°}\Rightarrow 2\cdot (\gamma 1+\gamma 2)=180°$

$\Rightarrow \gamma 1\text{}+\gamma 2\text{}=90\mathrm{°}\Rightarrow \gamma 1+\gamma 2=90°$