Los dos comieron juntos $2+4=62+4=6$ pedazos, y se representa con la fracción ${\displaystyle \frac{6}{12}}\backslash dfrac\{6\}\{12\}$. Detrás está del cálculo está ${\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}\backslash dfrac\{2\}\{12\}\; +\; \backslash dfrac\{4\}\{12\}\; =\; \backslash dfrac\{6\}\{12\}$.

Así vemos que cuando se suman fracciones con el mismo nombre, los numeradores se suman mientras el denominador sigue siendo el mismo.

¿Qué fracción de la pizza sobra?

Como también se puede ver en el gráfico, quedan $12-6=612-6\; =\; 6$ piezas, que es la fracción ${\displaystyle \frac{6}{12}}\backslash dfrac\{6\}\{12\}$ . Detrás de esto está el cálculo ${\displaystyle \frac{12}{12}}-{\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}\backslash dfrac\{12\}\{12\}-\backslash dfrac\{6\}\{12\}=\backslash dfrac\{6\}\{12\}$.

Ejercicios

En el apartado anterior vimos cómo sumar y restar fracciones con el mismo nombre. Veamos ahora cómo calcular con fracciones que tienen diferentes denominadores, por ejemplo ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ y ${\displaystyle \frac{2}{3}}\backslash dfrac\{2\}\{3\}$ .

Para ello, es útil ilustrar las fracciones mediante rectángulos:

Puedes ilustrar la suma colocando los dos rectángulos uno encima del otro.

Matemáticamente, lo que ocurre es lo siguiente La nueva descomposición corresponde a la ampliación del mismo denominador mayor:

Entonces puedes sumar estas dos fracciones como hemos visto antes, es decir, se suman los numeradores y el denominador sigue siendo el mismo:

Así, vemos que podemos calcular la suma de fracciones con nombres distintos expandiendo primero las fracciones al mismo denominador mayor. Podemos utilizar el mismo procedimiento para la resta.

Ejercicios

Ya sabes por los números naturales y enteros que: $2\cdot 5=5+5=102\; \backslash cdot5=5+5=10$. Así que la multiplicación es una suma repetida.

Lo mismo ocurre al multiplicar números naturales por fracciones.

$2\cdot {\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{2\cdot 2}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}2\backslash cdot\; \backslash dfrac\{2\}\{12\}=\backslash dfrac\{2\}\{12\}+\backslash dfrac\{2\}\{12\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot2\}\{12\}=\backslash dfrac\{4\}\{12\}$

Así lo vemos:

Ejercicios

Debemos calcular los ${\displaystyle \frac{2}{3}}\backslash dfrac\{2\}\{3\}$ de los 2 litros. De forma gráfica, podemos pensarlo así:

Ejercicios

Ahora, si marcamos ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ de ${\displaystyle \frac{3}{4}}\backslash dfrac\{3\}\{4\}$, podemos contar que ${\displaystyle \frac{3}{12}}\backslash dfrac\{3\}\{12\}$ de la bolsa original están marcados.

Podemos calcularlo así:

${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ de ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1\cdot 3}{3\cdot 4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}\backslash dfrac\{3\}\{4\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{3\}\{4\}=\backslash dfrac\{1\backslash cdot3\}\{3\backslash cdot4\}=\backslash dfrac\{3\}\{12\}$

Así que ya vemos:

A menudo aún podemos reducir el resultado. En nuestro ejemplo podemos acortar el numerador y el denominador en $33$ y obtener: ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash dfrac\{3\}\{12\}=\backslash dfrac\{1\}\{4\}$

Ejercicios

Otro ejemplo

Consideraciones sobre la regla de cálculo

Veamos con más detalle los cálculos de los dos ejemplos:

${\displaystyle \frac{4}{3}}:2={\displaystyle \frac{4}{6}}\backslash dfrac\{4\}\{3\}:2=\backslash dfrac\{4\}\{6\}$ y ${\displaystyle \frac{4}{5}}:3={\displaystyle \frac{4}{15}}\backslash dfrac\{4\}\{5\}:3=\backslash dfrac\{4\}\{15\}$

En el primer ejemplo, el $:2:2$ significa que tomamos "la mitad" de ${\displaystyle \frac{4}{3}}\backslash dfrac\{4\}\{3\}$. Así que también podemos escribir ${\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{6}}\backslash dfrac\{4\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}=\backslash dfrac\{4\}\{6\}$.

Asimismo, en el segundo ejemplo $:3:3$ significa que tomamos la "tercera parte" de ${\displaystyle \frac{4}{5}}\backslash dfrac\{4\}\{5\}$. Así que también podemos escribir ${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{15}}\backslash dfrac\{4\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}=\backslash dfrac\{4\}\{15\}$.

Así, en lugar de dividir por un número entero, podemos multiplicar por la fracción invertida. Donde ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ es la fracción invertida de $22$ y ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ es la fracción invertida de 3.

Ejercicios

A Tomás y a su amigo les quedan ${\displaystyle \frac{2}{3}}\backslash dfrac\{2\}\{3\}$ litros de cola. Quieren decantarlas en botellas más pequeñas y manejables. Hay espacio para ${\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash dfrac\{1\}\{4\}$ litros en cada botella pequeña.

¿Cuántas botellas necesitan?

Primero, veamos un ejemplo más sencillo. Si queremos llenar $2020$ litros en botellas de 2 litros, calculamos: $20:2=1020:2=10$. Así que se necesitan 10 botellas para llenar $2020$ litros en botellas de $22$ litros.

Del mismo modo, ahora podemos calcular cuántas botellas necesitan Tomás y su amigo. Calculamos: $\frac{2}{3}:\frac{1}{4}=?\backslash frac\{2\}\{3\}:\backslash frac\{1\}\{4\}=?$

En el último paso, convertimos la fracción mixta.

En el capítulo anterior, aprendiste que en lugar de dividir por un número, podemos multiplicar por la fracción invertida. Lo mismo ocurre al dividir por una fracción.

Obtenemos fracción invertida de una fracción intercambiando el numerador y el denominador. Así, fracción invertida de $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$ es igual a $\frac{4}{1}\backslash frac\{4\}\{1\}$ y esta es $=4=4$.

Así que podemos calcular: ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 1}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\backslash dfrac\{2\}\{3\}:\backslash dfrac\{1\}\{4\}=\; \backslash dfrac\{2\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{4\}\{1\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot4\}\{3\backslash cdot1\}=\; \backslash dfrac\{8\}\{3\}$

Nota: