Contenido del curso

El objetivo de este curso es conocer cómo se extienden y acortan las fracciones y cómo se utilizan para comparar tamaños.

Conocimientos previos

Debes saber lo que son las fracciones.

Duración del curso

El curso dura aproximadamente 1,5 horas (si quieres resolver todos los ejercicios por tu cuenta).

Veamos otro ejemplo

Tarea ¿Qué fracción es roja? Escribe como una fracción.

¿Te has dado cuenta de que la zona roja tiene siempre el mismo tamaño y, sin embargo, has utilizado diferentes fracciones para describirla?

Resumen

Para representar una misma fracción, podemos utilizar diferentes fracciones. Dicho de otra manera, a veces diferentes fracciones representan la misma fracción.

En los siguientes capítulos aprenderás más sobre esto.

En la sección anterior aprendiste que dos fracciones pueden describir la misma fracción. Veamos ahora con más detalle lo que esto significa.

¿Qué aspecto tiene?

Está claro que se mantiene: ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{6\}=\backslash dfrac\{4\}\{12\}$

¿Qué significa eso matemáticamente?

Si multiplicamos el numerador ($11$) y el denominador ($33$) de la fracción ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}$ por el número $22$ obtenemos la fracción ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\{2\}\{6\}$:

${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}}={\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\{1\}\{3\}=\backslash dfrac\{1\backslash cdot2\}\{3\backslash cdot2\}=\backslash dfrac\{2\}\{6\}$

Del mismo modo, obtenemos ${\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac\{4\}\{12\}$ multiplicando el numerador ($22$) y el denominador ($66$) de ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\{2\}\{6\}$ por $22$ cada uno:

${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{2\cdot 2}{6\cdot 2}}={\displaystyle \frac{4}{12}}\backslash dfrac\{2\}\{6\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot2\}\{6\backslash cdot2\}=\backslash dfrac\{4\}\{12\}$

Ejemplo

Amplía la fracción ${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ con 3.

Ejercicios

En el capítulo anterior, aprendiste que las fracciones pueden ampliarse dividiendo las fracciones en partes iguales o multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número.

Por el contrario, podemos reducir fracciones o dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

Ejemplo

Está claro que se mantiene: $\frac{4}{8}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\backslash frac\{4\}\{8\}=\backslash frac\{2\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$

Así, en lugar de multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, como en ampliar, podemos dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

Aplica: ${\displaystyle \frac{4:2}{8:2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}\backslash dfrac\{4:2\}\{8:2\}=\; \backslash dfrac\{2\}\{4\}$ y ${\displaystyle \frac{2:2}{4:2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{2:2\}\{4:2\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Ejemplo

Reduce la fracción ${\displaystyle \frac{3}{9}}\backslash dfrac\{3\}\{9\}$ con el número $33$.

Ejercicios

En los capítulos anteriores hemos establecido que podemos dibujar fracciones en la recta numérica. Por tanto, las fracciones siempre describen un valor numérico. Veamos ahora cómo podemos comparar este valor numérico de diferentes fracciones. Observemos la fracción de las partes rojas de los dos círculos siguientes:

El primer círculo describe la fracción ${\displaystyle \frac{11}{12}}\backslash dfrac\{11\}\{12\}$, el segundo ${\displaystyle \frac{7}{12}}\backslash dfrac\{7\}\{12\}$. La primera fracción es mayor, porque tiene más partes (o trozos de pizza). Así que lo siguiente es cierto: ${\displaystyle \frac{11}{12}}>{\displaystyle \frac{7}{12}}\backslash dfrac\{11\}\{12\}>\backslash dfrac\{7\}\{12\}$.

Pero, ¿qué ocurre ahora si los denominadores no son iguales? Observemos la fracción de las partes rojas de los siguientes círculos:

Así que esta vez comparamos las fracciones ${\displaystyle \frac{2}{12}},{\displaystyle \frac{2}{5}}\text{y}{\displaystyle \frac{2}{3}}\backslash dfrac\{2\}\{12\},\; \backslash dfrac\{2\}\{5\}\; \backslash text\{y\}\; \backslash dfrac\{2\}\{3\}$. La tercera fracción es la mayor porque las dos partes son mayores:

${\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{2}{5}}>{\displaystyle \frac{2}{12}}\backslash dfrac\{2\}\{3\}>\backslash dfrac\{2\}\{5\}\; >\backslash dfrac\{2\}\{12\}$.

Cuantos más trozos dividamos una pizza, más pequeños serán los trozos.

En este capítulo hemos aprendido a comparar fracciones cuyos denominadores o numeradores son iguales. En el próximo capítulo veremos qué ocurre cuando ni el numerador ni el denominador son iguales.

Ejercicios

¿Cuál de las dos fracciones es mayor?

a) ${\displaystyle \frac{5}{8}}\backslash dfrac\{5\}\{8\}$ o ${\displaystyle \frac{1}{8}}\backslash dfrac18$

b) ${\displaystyle \frac{3}{17}}\backslash dfrac\{3\}\{17\}$ o ${\displaystyle \frac{7}{17}}\backslash dfrac\{7\}\{17\}$

c) ${\displaystyle \frac{3}{10}}\backslash dfrac\{3\}\{10\}$ o ${\displaystyle \frac{3}{4}}\backslash dfrac\{3\}\{4\}$

d) ${\displaystyle \frac{7}{12}}\backslash dfrac\{7\}\{12\}$ o ${\displaystyle \frac{7}{18}}\backslash dfrac\{7\}\{18\}$

¿Cómo podemos comparar las fracciones ${\displaystyle \frac{1}{8}}\backslash dfrac\{1\}\{8\}$, ${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ y ${\displaystyle \frac{3}{4}}\backslash dfrac\{3\}\{4\}$? Nuestras reglas de la sección anterior no ayudan aquí: ni los numeradores ni los denominadores coinciden.

Sin embargo, podemos ajustar los denominadores ampliándolos y reduciéndolos.

¿Podemos ampliar las fracciones para que todas tengan el mismo denominador al final? Hemos visto en un ejercicio anterior que en este caso podemos expandir todas las fracciones al común denominador 40:

${\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{5}{40}}{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{16}{40}}{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{30}{40}}\backslash dfrac\{1\}\{8\}\; =\; \backslash dfrac\{5\}\{40\}\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash dfrac\{2\}\{5\}\; =\; \backslash dfrac\{16\}\{40\}\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash dfrac\{3\}\{4\}\; =\; \backslash dfrac\{30\}\{40\}$

Por lo tanto, según nuestra regla general para fracciones con el mismo denominador, se deduce:

Podemos aplicar este procedimiento a cualquier fracción: Si queremos comparar fracciones que no tienen ni el mismo numerador ni el mismo denominador, debemos expandir estas fracciones a un denominador común llamado denominador principal. Para ello, determinamos el minimo común múltiplo (MCM) de los denominadores que aparecen y expandimos todas las fracciones a este múltiplo. En el ejemplo anterior, se trataba de 40, y ampliamos las fracciones en 5, 8 y 10, respectivamente.

¿Cuál de las dos fracciones es mayor?

a) ${\displaystyle \frac{3}{5}}\backslash dfrac\{3\}\{5\}$ o ${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$

b) ${\displaystyle \frac{2}{3}}\backslash dfrac\{2\}\{3\}$ o ${\displaystyle \frac{2}{7}}\backslash dfrac\{2\}\{7\}$

c) ${\displaystyle \frac{5}{12}}\backslash dfrac\{5\}\{12\}$ o ${\displaystyle \frac{3}{4}}\backslash dfrac\{3\}\{4\}$