Subconjunto de un conjunto - ¡Aprende con Serlo!

Definición

Un conjunto $A$ se denomina subconjunto del conjunto $B$ si cada elemento de $A$ es también un elemento de $B$ . Para esto escribe $A⊆B$ . Existe la posibilidad que $A=B$ .

Un subconjunto se denomina subconjunto propio si $A$ y $B$ no son las mismas cantidades, es decir, si $A\subseteq B$ y $A \neq B$ . Para esto la notación $A$ $⊊$ $B$ es usual.

Atención: La notación $A\subset B$ no se utiliza uniformemente en las matemáticas. $A$ veces significa que $A$ es un subconjunto de $B$ , a veces que es un subconjunto propio de $B$ .

Ejemplo

Tenemos los conjuntos A y B respectivamente con

$\text{A}=\left\{2;3;a\right\}$ y

$\text{B}=\left\{1;2;3;a;b\right\}$ .

Entonces $\text{A}\subseteq \text{B}$ , porque todos los elementos de $\text{A}$ están también contenidos en $\text{B}$ .

Observaciones

El conjunto vació se denota como $\varnothing$ .
$\varnothing\subseteq A\subset G$ El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto y cada conjunto debe ser un subconjunto del conjunto $G$ .
$A \subseteq A$ Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo.
Si $A\subseteq B$ y $B \subseteq A$ , entonces $A$ y $B$ son la misma cantidad: $A=B$
Si $A \subseteq B$ y $B \subseteq C$ , entonceses también $A \subseteq C$ .
Cada conjunto es un subconjunto de la unión de sí mismo con otro conjunto $A\ \subseteq\ (A\cup B)$
El número cardinal de un subconjunto $A\subseteq B$ aplica: $|A|\leq|B|$

Conjunto Potencia

El conjunto Potencia $\mathcal{P}(A)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $A$ .

Donde $A= \left(1{,}2,3 \right)$ es $\mathcal{P}(A)= (\varnothing, \left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}, \left\{1{,}2\right\}, \left\{1{,}3\right\},\left\{2{,}3\right\},\left\{1{,}2,3\right\})$ .

Cabe señalar que este conjunto en sí mismo contiene conjuntos.

$\left\{1\right\}$ y $\left\{\left\{1\right\}\right\}$ no son lo mismo.

El número cardinal $|\mathcal{P}(A)|$ , se puede calcular a través de $|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}$ .

En cada subconjunto, cada elemento tiene 2 posibilidades, esté incluido o no.

Como ejemplo es entonces $|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^3=8$ .