Hay muchos modos diferentes de resolver este ejercicio.

Probablemente la forma más común es dividir el octógono en cifras cuya área se puede calcular más fácilmente.

El cálculo usando una división en triángulos y rectángulos se explica con más detalle aquí.

El área $A_{oct\acute{a}gono}A\_\{octágono\}$ resulta de la suma de las áreas de los triángulos y rectángulos que lo componen, es decir:

$A_{oct\acute{a}gono}=A\mathrm{\Delta }1\text{}+A\mathrm{\Delta }2\text{}+A\mathrm{\Delta }3\text{}+A\mathrm{\Delta }4\text{}+A\text{□}1\text{}+A\text{□}2\text{}+A\text{□}3\text{}A\_\{octágono\}\; =A\Delta 1+A\Delta 2+A\Delta 3+A\Delta 4+A\square 1+A\square 2+A\square 3$

Ahora puedes calcular las áreas de los triángulos y rectángulos.

El área de los triángulos

Para determinar el área de los triángulos $A_{{\mathrm{\Delta }}_1}A\_\{\backslash Delta\_1\}$, $A_{{\mathrm{\Delta }}_2}A\_\{\backslash Delta\_2\}$, $A_{{\mathrm{\Delta }}_3}A\_\{\backslash Delta\_3\}$ y $A_{{\mathrm{\Delta }}_4}A\_\{\backslash Delta\_4\}$, necesitas la fórmula del área para los triángulos.

$A_{{\mathrm{\Delta }}_1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\text{cm}\cdot 1\text{cm}=1{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash Delta\_1\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot2\backslash text\{cm\}\backslash cdot1\backslash text\{cm\}=1\backslash text\{cm\}^2$

$A_{{\mathrm{\Delta }}_2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\text{cm}\cdot 1\text{cm}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash Delta\_2\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot1\backslash text\{cm\}\backslash cdot1\backslash text\{cm\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{cm\}^2$

$A_{{\mathrm{\Delta }}_3}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\text{cm}\cdot 2\text{cm}=2{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash Delta\_3\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot2\backslash text\{cm\}\backslash cdot2\backslash text\{cm\}=2\backslash text\{cm\}^2$

$A_{{\mathrm{\Delta }}_4}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\text{cm}\cdot 2\text{cm}=1{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash Delta\_4\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot1\backslash text\{cm\}\backslash cdot2\backslash text\{cm\}=1\backslash text\{cm\}^2$

El área de los rectángulos

Para determinar el área de los rectángulos $A_{{\mathrm{\square }}_1},A_{{\mathrm{\square }}_2}A\_\{\backslash square\_1\},\; A\_\{\backslash square\_2\}$​​ y $A_{{\mathrm{\square }}_3}A\_\{\backslash square\_3\}$, necesitas la fórmula del área de los rectángulos.

$A_{{\mathrm{\square }}_1}=3\text{cm}\cdot 1\text{cm}=3{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash square\_1\}=\; 3\backslash text\{cm\}\backslash cdot1\backslash text\{cm\}=3\backslash text\{cm\}^2$

$A_{{\mathrm{\square }}_2}=6\text{cm}\cdot 2\text{cm}=12{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash square\_2\}=\; 6\backslash text\{cm\}\backslash cdot2\backslash text\{cm\}=12\backslash text\{cm\}^2$

$A_{{\mathrm{\square }}_3}=3\text{cm}\cdot 2\text{cm}=6{\text{cm}}^{2}A\_\{\backslash square\_3\}=\; 3\backslash text\{cm\}\backslash cdot2\backslash text\{cm\}=6\backslash text\{cm\}^2$

Cálculo del área del octágono

Ahora puedes añadir las áreas de los triángulos y rectángulos para determinar el área total del octágono.

$A_{oct\acute{a}gono}=A\mathrm{\Delta }1\text{}+A\mathrm{\Delta }2\text{}+A\mathrm{\Delta }3\text{}+A\mathrm{\Delta }4\text{}+A\text{□}1\text{}+A\text{□}2\text{}+A\text{□}3A_{oct\acute{a}gono}=1{\text{cm}}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{cm}+2{\text{cm}}^2+1{\text{cm}}^2+3{\text{cm}}^2+12{\text{cm}}^2+6{\text{cm}}^2=\mathrm{25,5}{\text{cm}}^{2}A\_\{octágono\}\; =A\Delta 1+A\Delta 2+A\Delta 3+A\Delta 4+A\square 1+A\square 2+A\square 3\backslash \backslash A\_\{octágono\}\; =1\backslash text\{cm\}^2+\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{cm\}+2\backslash text\{cm\}^2+1\backslash text\{cm\}^2+3\backslash text\{cm\}^2+12\backslash text\{cm\}^2+6\backslash text\{cm\}^2=25\{,\}5\backslash text\{cm\}^2$​​

Por lo tanto, el área que está buscando es $A_{oct\acute{a}gono}=\mathrm{25,5}{\text{cm}}^{2}A\_\{octágono\}\; =25\{,\}5\backslash text\{cm\}^2$