Máximo común divisor (MCD) - ¡Aprende con Serlo!

El "divisor" de un entero $x$ es un número natural porel cual $x$ puede ser dividido sin residuo.

El máximo divisor común $\text{MCD}$ de dos o más números es el mayor número natural por el que todos estos números pueden ser divididos.

Por ejemplo, al calcular con fracciones, es útil determinar el $\text{MCD}$ del numerador y del denominador para simplificar con él.

Notación Matemática

La tarea de encontrar el máximo común divisor de dos números $x$ y $y$ se denota así $M C D (x, y)$

¿Cómo se obtiene el MCD?

A continuación se presentan 3 métodos diferentes para calcular el MCD:

Método con lista de divisores
Método del factor primo
Método del algoritmo de Euclides

1- Lista de divisores

ste método funciona con números pequeños, donde es fácil comprobar qué divisores tienen.

Ejemplo

buscamos el MCD de $16$ y $20.$ Este ejemplo se denota así: $M C D (16,20)$ .

MCD de 16:	1	2	4	8	16
MCD de 20:	1	2	4	5	10	20

El mayor número, que es a la vez un divisor de $16$ y también de $20,$ es $4$ $\Rightarrow M C D (16,20) = 4 ⇒MCD(16{,}20)=4$

2- Factor primo

El factor primo de dos (o más) números, se puede calcular fácilmente a partir del máximo común divisor.

El $\text{MCD}$ de dos (o más) números es el producto de todos los factores primos que ambos números tienen en común.

Ejemplo 1

Busca el $M C D (12,18)$

Paso 1.

Indentificamos los factores para el $12$

\displaystyle 12=2\cdot2\cdot3\\ =2^2\cdot3

Paso 2.

Identificamos los factores para el $18$

\displaystyle 18 = 2 \cdot3\cdot3 \\=2\cdot3^2

Paso 3.

Observando el paso 1 y 2, identificamos los factores comunes que tienen el $12$ y el $18$ . En este caso los factores primos comunes son el $2$ y el $3$ .

Paso 4.

El producto de sus factores primos comunes es:

\displaystyle MCD(12{,}18)=2\cdot3=6

Ejemplo 2

Busca el $M C D (120,900)$

\displaystyle 120=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\\=2^3\cdot3\cdot5\\900=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\\=2^2\cdot3^2\cdot5^2\\

Ambos números tienen el 2, el 3 y el 5 como factores primos comúnes. Inclusive el factor primo 2 está dos veces tanto para el 120 como para 900.

\displaystyle MCD(120{,}900)=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5=60

Ejemplo 3

Busca el $M C D (150,26)$

\displaystyle 150=3\cdot5\cdot7\\26=2\cdot13

Podemos observar que estos números no tienen ningún factor primo en común. Por esta razón, solo podemos decir que el único factor primo común el el $1$ . Así pues, el 150 y el 26 son números primos relativos, pues su máximo común divisor es el $1$ .

\displaystyle MCD(150{,}26)=1

3- Algoritmo de Euclides

Con el algoritmo de euclides se puede calcular el máximo común divisor con relativa facilidad. A veces es un poco laborioso, pero una vez que lo entiendes, te lleva con seguridad a la meta, incluso con números grandes.

Acá tenemos una descripción sencilla del procedimiento:

Si vas a calcular el $M C D (a, b)$ y $a > b,$ entonces:

Paso 1: Divide $a$ entre $b$ , $r$ es el residuo.

Paso 2: Si el residuo es cero, entonces el $M C D (a, b) = b$

Paso 3: Si el residuo es diferente de cero, entonces ahora calcula el $M C D (b, r)$ y vuelve a ejecutar todos los pasos hasta que el residuo sea cero.

Ejemplo

Busca el $M C D (27,12)$

Paso 1:

\displaystyle 27:12=2\\ 12\cdot2\ \text{residuo}\ 3

Paso 2:

El residuo es diferente de cero. Seguimos al paso 3.

Paso 3:

Calculamos ahora $M C D (12,3)$

... regresamos al paso 1...

Paso 1:

\displaystyle 12:3=4\\3\cdot4\ \text{residuo}\ 0

Paso 2:

El residuo es cero, entonces $M C D (12,3)$ $= 4$

Solución:

\displaystyle MCD(27{,}12)=3

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