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Máximo común divisor (MCD)

El "divisor" de un entero x es un número natural porel cual x puede ser dividido sin residuo.

El máximo divisor común MCD de dos o más números es el mayor número natural por el que todos estos números pueden ser divididos.

Por ejemplo, al calcular con fracciones, es útil determinar el MCD del numerador y del denominador para simplificar con él.

Notación Matemática

La tarea de encontrar el máximo común divisor de dos números x y y se denota así MCD(x,y)

¿Cómo se obtiene el MCD?

A continuación se presentan 3 métodos diferentes para calcular el MCD:

  1. Método con lista de divisores

  2. Método del factor primo

  3. Método del algoritmo de Euclides

1- Lista de divisores

ste método funciona con números pequeños, donde es fácil comprobar qué divisores tienen.

Ejemplo

buscamos el MCD de 16 y 20. Este ejemplo se denota así: MCD(16,20).

MCD de 16:

1

2

4

8

16

MCD de 20:

1

2

4

5

10

20

El mayor número, que es a la vez un divisor de 16 y también de 20, es 4 MCD(16,20)=4

2- Factor primo

El factor primo de dos (o más) números, se puede calcular fácilmente a partir del máximo común divisor.

El MCD de dos (o más) números es el producto de todos los factores primos que ambos números tienen en común.

Ejemplo 1

Busca el MCD(12,18)

Paso 1.

Indentificamos los factores para el 12

12=223=223

Paso 2.

Identificamos los factores para el 18

18=233=232

Paso 3.

Observando el paso 1 y 2, identificamos los factores comunes que tienen el 12 y el 18. En este caso los factores primos comunes son el 2 y el 3.

Paso 4.

El producto de sus factores primos comunes es:

MCD(12,18)=23=6

Ejemplo 2

Busca el MCD(120,900)

120=22235=2335900=223355=223252

Ambos números tienen el 2, el 3 y el 5 como factores primos comúnes. Inclusive el factor primo 2 está dos veces tanto para el 120 como para 900.

MCD(120,900)=2235=2235=60

Ejemplo 3

Busca el MCD(150,26)

150=35726=213

Podemos observar que estos números no tienen ningún factor primo en común. Por esta razón, solo podemos decir que el único factor primo común el el 1. Así pues, el 150 y el 26 son números primos relativos, pues su máximo común divisor es el 1.

MCD(150,26)=1

3- Algoritmo de Euclides

Con el algoritmo de euclides se puede calcular el máximo común divisor con relativa facilidad. A veces es un poco laborioso, pero una vez que lo entiendes, te lleva con seguridad a la meta, incluso con números grandes.

Acá tenemos una descripción sencilla del procedimiento:

Si vas a calcular el MCD(a,b) y a>b, entonces:

Paso 1: Divide a entre b, r es el residuo.

Paso 2: Si el residuo es cero, entonces el MCD(a,b)=b

Paso 3: Si el residuo es diferente de cero, entonces ahora calcula el MCD(b,r) y vuelve a ejecutar todos los pasos hasta que el residuo sea cero.

Ejemplo

Busca el MCD(27,12)

Paso 1:

27:12=2122 residuo 3

Paso 2:

El residuo es diferente de cero. Seguimos al paso 3.

Paso 3:

Calculamos ahora MCD(12,3)

... regresamos al paso 1...

Paso 1:

12:3=434 residuo 0

Paso 2:

El residuo es cero, entonces MCD(12,3)=4

Solución:

MCD(27,12)=3

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