Potenciación

La potenciación es una notación abreviada para multiplicar un número por sí mismo varias veces.

Ejemplo: se escribe $\underbrace{2\cdot2\cdot2}_{ \text{3 factores}}$ como $2^3$

El exponente, en este ejemplo $3$, describe cuántas veces se multiplica un número por sí mismo.

En general, cualquier número sin exponente tiene un exponente de $1$.

Se aplica: $\text{x}=\text{x}^1$

En este caso se suele omitir el exponente.

Ejemplo: $3^1=3$

Si se eleva cualquier número $\text{x}$ a la potencia de $0$, cuando $\text{x}\neq0$, siempre se obtiene $\text{x}^0=1$.

Excepción: "$\sf 0^0$ " no está definido.

Base y exponente

El número que se va a multiplicar por sí mismo se llama base y el número de veces es indicado por el exponente, el resultado de este cálculo es entonces la potencia.

Ejemplo: $\textcolor{009999}{2}^{\textcolor{ff6600}{3}}=\textcolor{006400}{8}$

Potencias con base negativa

Si se realiza la potenciaci[on de un número negativo, el signo del resultado depende de si el exponente es un número par o impar. Si es par, el resultado es positivo; si es impar, la potencia sigue siendo negativa.

Ejemplos:

$(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=+4$

$(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8$

Potencias con exponente negativo

¿Cómo podemos interpretar $\text{a}^{-\text{k}}$?

$\text{a}^{-\text{k}}=\frac{4}{\text{a}^{\text{k}}}$

Ejemplos:

$2^{-1}=\dfrac{1}{2}$

$4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{3}{25}=3\cdot \dfrac{1}{25}=3\cdot5^{-2}$

Exponentes racionales

Los números elevados a la potencia de un número racional (es decir, una fracción) pueden identificarse como una raíz:

$\text{x}^\dfrac{\text{a}}{\text{b}}=\sqrt[\text{b}]{\text{x}^\text{a}}$

Por lo tanto, lo contrario es cierto para la raíz estándar:

$\sqrt[]{\text{x}}=\sqrt[2]{\text{x}}=\text{x}^\dfrac{1}{2}$

Ejemplo 1:

$5^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{5^5}$

Ejemplo 2:

$7^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$

Calculando con exponentes

En el artículo Leyes de la potenciación puedes leer cómo calcular con potencias y qué Leyes de la potenciación hay.