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Vector

Un vector denota un desplazamiento y se representa por cualquier flecha

  • que sea la misma longitud y

  • la misma dirección

como el desplazamiento en cuestión.

Los vectores se suelen nombrar con una letra minúscula con una flecha encima. Así, los nombres típicos de los vectores son a⃗,v⃗,w⃗…\vec{a},\vec{v},\vec{w}\dots

Las flechas individuales se llamans de este vector. Todos son paralelos entre sí.

Aquí puedes ver algunas equivalentes del vector a⃗\vec{a}.

Introducción detallada

Vídeo de introducción al concepto de vectores

Investiga en la gráfica

En el applet puedes seleccionar los puntos A y B y la flecha vectorial v⃗\vec{v} . Investiga cuando el vector cambia.

Vectores en el plano y en el espacio

El vector a→=(23){\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}} se encuentra en el plano x-y

El vector se encuentra en el plano x-y

El vector b→=(235){\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}} se encuentra en el espacio.

El vector se encuentra en el espacio

Las coordenadas de un vector v→\overrightarrow{v} se designan con diferentes notaciones. Algunos ejemplos son:

v→=(xvyv)\displaystyle {\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}x_v\\y_v\end{pmatrix}}
v→=(v1v2)\displaystyle {\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}}
v→=(vxvy)\displaystyle {\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}}

Longitud de un vector

La longitud o magnitud de un vector a→\overrightarrow{a} se denota por ∣a→∣\mid \overrightarrow{a}\mid (o a menudo ∥a→∥\lVert\overrightarrow{a}\rVert ) y se calcula como sigue:

∥a→∥=a12+a22\lVert\overrightarrow{a}\rVert=\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}} , si a→\overrightarrow{a} se encuentra en el plano.

∥a→∥=a12+a22+a32\lVert\overrightarrow{a}\rVert=\sqrt{a^{2}_{1}+a^{2}_{2}+a^{2}_{3}}, si a→\overrightarrow{a} se encuentra en el espacio.

Longitud de un vector

Relación entre dos vectores

  • Paralelismo

Dos vectores v→\overrightarrow{v} y w→\overrightarrow{w} son paralelos entre sí si uno es múltiplo del otro:

v→=k⋅w→    k∈R\overrightarrow v=k⋅\overrightarrow w \,\,\,\,k∈\mathbb{R}

  • Ortogonalidad

Dos vectores a→\overrightarrow a y b→\overrightarrow b son ortogonales (= perpendiculares) entre sí si su producto escalar es a ∘ b es igual a 00.

Un vector n→\overrightarrow n que es ortogonal

  • a otro vector v→\overrightarrow v o

  • a una recta gg o

  • a un plano EE

se llama vector normal de v→\overrightarrow v , gg o EE .

Especialmente los planos, pero también las rectas, se representan de forma muy sencilla con vectores normales en una forma normal.

Cálculos con vectores

Los vectores pueden calcularse de forma similar a los números. Por lo tanto, puedes:

  • Suma y resta de vectores,

  • con un número escalar multiplicar vectores (= estirar o comprimir),

  • multiplica dos vectores entre sí.

Importante: Hay más de una forma de multiplicar vectores entre sí. Con el producto escalar el resultado es un número (= un escalar), mientras que con el producto cruzado sale otro vector.

Otro cálculo importante que puede hacerse con vectores es la llamada multiplicación matriz-vector.

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