Ejercicios de aplicacón del arco capaz

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Ejercicios de aplicacón del arco capaz
Construye un triángulo ABC a partir del radio de la circunferencia $r = 3 c m; α = 50 °; β = 80 ° .$

For this task you need the following basic knowledge: Teorema de Tales - Arco Capaz
El triángulo parcial $B C M$ es construible a partir de: $B M = C M = r B M = C M = y ∢ B M C = 2 α$ .∢BMC=2α. (¡Aplicacion del Teorema de Tales - Arco Capaz!)
A continuación, a) en el tramo libre de $β$ en $B$ en $[B C$ y b) sobre la circunferencia $k (M; r)$
Descripción de la construcción:
Puedes seguir la construcción paso a paso en el applet con la barra de navegación (abajo).
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Dibuja la recta [MB] con $M B = r = 3 c m$ .
Introduce el ángulo $100 °$ en $M$ en $[M B$ .
El tramo aplicado interseca el círculo $k (M; 3 c m)$ en el punto $C$ .
Introduce el ángulo $80 °$ en $B$ en $[B C]$ .
El tramo aplicado interseca el círculo $k (M; 3 c m)$ en el punto $A$ .
El triángulo $A B C$ es el triángulo que buscamos.
Plan:

El arte de la prueba
Supongamos que el punto $P$ se encuentra en la circunferencia de capaz de la cuerda [AB] de forma que la recta [PA] sea el diámetro.

Demuestra el teorema de Tales - Arco Capaz para esta posición de $P$ demostrando que se cumple:
$μ = 2 φ$ y $τ = φ$

For this task you need the following basic knowledge: Teorema de Tales - Arco Capaz
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$△ B P M$ es isósceles ( $B M = P M = r$ )
$∢ P B M = φ$ (Ángulo de la base)
$∢ B M P = 180 ° - 2 φ$ (Suma de ángulos en un triángulo)
$μ + ∢ B M P = 180 °$ (Ángulo secundario) $μ + 180° - 2 φ = 180 °$
$μ = 2 φ$
$△ A B M$ es isósceles ( $A M = B M = r$ ) con ángulo en la base $α$
Suma de los ángulos del triángulo ABM: $α + α + 2 φ = 180 °$ $|$ :2
$α + φ = 90 °$ $|$ $- φ$
$α = 90 ° - φ$
$90 ° + α + τ = 180 °$ (ángulo recto) $90 ° + 90 ° - φ + τ = 180 °$
$τ = φ$
Pista:

Puedes seguir los pasos individuales de la prueba utilizando la barra de navegación del applet dado.

Los puntos $A$ , $B$ , $C$ se encuentran en el semicírculo.
También se dan los ángulos $α = 45 °$ y $δ = 75 °$ .
Calcula los ángulos

For this task you need the following basic knowledge: Suma de ángulos en un triángulo
$α + ε + μ = 180 °$
Esta ecuación sólo puede resolverse si conoces dos de los tres ángulos. Puedes encontrar el valor de $α$ en la especificación. $ε$ puede determinarse con la ayuda del ángulo secundario $δ$ .
$ε + δ = 180 °$
Resuelve para $ε$ e inserta el valor dado $75 °$ para $δ$ .
$ε = 180 ° - 75 ° = 105 °$
Introduce el $ε$ en la primera ecuación y conviértelo en $μ$ .
$μ = 180 ° - 105 ° - 45 ° = 30 °$
Teorema de Tales
Todavía hay que determinar los ángulos $λ$ y $β$ . Aplica el teorema de Tales y obtendrás la siguiente ecuación:
$μ + λ = 90 °$
Como ya has calculado $μ$ , la ecuación puede convertirse en $λ$ y calcularse.
$λ = 90 ° - 30 ° = 60 °$
Por último, $β$ puede calcularse mediante la suma de ángulos interiores en el triángulo $△ B C D$ .
$λ + β + δ = 180 °$
Inserta los valores y obtendrás:
$β = 180 ° - 75 ° - 60 ° = 45 °$
Ahora has calculado todos los ángulos que había que calcular:
$\begin{array}{l} β = 45 ° \\ α = 45 ° \\ δ = 75 ° \\ λ = 60 ° \\ μ = 30 ° \\ ϵ = 105 ° \end{array}$
Considera primero el triángulo $△ A C D$ . Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre $180 º$ , puedes hacer la siguiente ecuación:

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Teorema de Tales