Teorema de Tales

Empieza con una recta cualquiera (aquí: [AB]).

Construye ahora una circunferencia de Tales (aquí con centro $M$).

Ahora puedes marcar cualquier punto en el arco (aquí el punto $C$).

Ahora une los puntos $A$, $B$ y $C$ para formar un triángulo.

El ángulo $\sphericalangle ACB$ es un ángulo recto.

Puedes mover el punto (aquí: punto $C$) en la ilustración gráfica (applet) de la derecha como quieras y hacer lo mismo con él cada vez para comprobar la afirmación.

Primero dibuja un triángulo $△ABC$ con la hipotenusa como el diámetro de una circunferencia y el tercer punto del triángulo en el arco de la circunferencia (aquí: punto $C$).

Además, introduce la línea bisectriz $h$ de la hipotenusa. Esto crea dos nuevos triángulos:

$△AMC$ y $△MCB$

Ahora bien, ya se sabe que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180°$.

Tanto en el triángulo $△ABC$ como en los triángulos $△AMC$ y $△MBC.$

Por lo tanto:

$\alpha +\beta +(\gamma 1\text{}+\gamma 2\text{})=180°$

Además:

$\epsilon +\delta =180°$

Los triángulos $△AMC$ y $△MBC$ son isósceles porque $p=q=h=\text{Radio del arco capaz}$.

Por lo tanto:

$\gamma 2\text{}=\beta$

$\alpha =\gamma 1\text{}$

Así es como se obtiene:

$\alpha +\beta +(\gamma 1\text{}+\gamma 2\text{})=180°$

$\Rightarrow 2\cdot (\gamma 1\text{}+\gamma 2\text{})=180°$

$\Rightarrow \gamma 1\text{}+\gamma 2\text{}=90°$