Calculando con fracciones

Los dos comieron juntos $2+4=6$ pedazos, y se representa con la fracción ${\displaystyle \frac{6}{12}}$. Detrás está del cálculo está ${\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$.

Así vemos que cuando se suman fracciones con el mismo nombre, los numeradores se suman mientras el denominador sigue siendo el mismo.

¿Qué fracción de la pizza sobra?

Como también se puede ver en el gráfico, quedan $12-6=6$ piezas, que es la fracción ${\displaystyle \frac{6}{12}}$ . Detrás de esto está el cálculo ${\displaystyle \frac{12}{12}}-{\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$.

Ejercicios

En el apartado anterior vimos cómo sumar y restar fracciones con el mismo nombre. Veamos ahora cómo calcular con fracciones que tienen diferentes denominadores, por ejemplo ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ y ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ .

Para ello, es útil ilustrar las fracciones mediante rectángulos:

Puedes ilustrar la suma colocando los dos rectángulos uno encima del otro.

Matemáticamente, lo que ocurre es lo siguiente La nueva descomposición corresponde a la ampliación del mismo denominador mayor:

Entonces puedes sumar estas dos fracciones como hemos visto antes, es decir, se suman los numeradores y el denominador sigue siendo el mismo:

Así, vemos que podemos calcular la suma de fracciones con nombres distintos expandiendo primero las fracciones al mismo denominador mayor. Podemos utilizar el mismo procedimiento para la resta.

Ejercicios

Ya sabes por los números naturales y enteros que: $2\cdot 5=5+5=10$. Así que la multiplicación es una suma repetida.

Lo mismo ocurre al multiplicar números naturales por fracciones.

$2\cdot {\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{2}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{2\cdot 2}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}$

Así lo vemos:

Ejercicios

Debemos calcular los ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de los 2 litros. De forma gráfica, podemos pensarlo así:

Ejercicios

Ahora, si marcamos ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, podemos contar que ${\displaystyle \frac{3}{12}}$ de la bolsa original están marcados.

Podemos calcularlo así:

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1\cdot 3}{3\cdot 4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$

Así que ya vemos:

A menudo aún podemos reducir el resultado. En nuestro ejemplo podemos acortar el numerador y el denominador en $3$ y obtener: ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Ejercicios

Otro ejemplo

Consideraciones sobre la regla de cálculo

Veamos con más detalle los cálculos de los dos ejemplos:

${\displaystyle \frac{4}{3}}:2={\displaystyle \frac{4}{6}}$ y ${\displaystyle \frac{4}{5}}:3={\displaystyle \frac{4}{15}}$

En el primer ejemplo, el $:2$ significa que tomamos "la mitad" de ${\displaystyle \frac{4}{3}}$. Así que también podemos escribir ${\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$.

Asimismo, en el segundo ejemplo $:3$ significa que tomamos la "tercera parte" de ${\displaystyle \frac{4}{5}}$. Así que también podemos escribir ${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$.

Así, en lugar de dividir por un número entero, podemos multiplicar por la fracción invertida. Donde ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ es la fracción invertida de $2$ y ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ es la fracción invertida de 3.

Ejercicios

A Tomás y a su amigo les quedan ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ litros de cola. Quieren decantarlas en botellas más pequeñas y manejables. Hay espacio para ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ litros en cada botella pequeña.

¿Cuántas botellas necesitan?

Primero, veamos un ejemplo más sencillo. Si queremos llenar $20$ litros en botellas de 2 litros, calculamos: $20:2=10$. Así que se necesitan 10 botellas para llenar $20$ litros en botellas de $2$ litros.

Del mismo modo, ahora podemos calcular cuántas botellas necesitan Tomás y su amigo. Calculamos: $\frac{2}{3}:\frac{1}{4}=?$

En el último paso, convertimos la fracción mixta.

En el capítulo anterior, aprendiste que en lugar de dividir por un número, podemos multiplicar por la fracción invertida. Lo mismo ocurre al dividir por una fracción.

Obtenemos fracción invertida de una fracción intercambiando el numerador y el denominador. Así, fracción invertida de $\frac{1}{4}$ es igual a $\frac{4}{1}$ y esta es $=4$.

Así que podemos calcular: ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 1}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

Nota: